Propiedades de los reales
Me piden Demostrar que si x es cualquier número real mayor que cero, x > 0, entonces existe N en los naturales tal, que: x
Entonces yo digo que:
Por la propiedad Arquimediana
Sea "x" un número real positivo e "y" un número real cualquiera, entonces existe un entero positivo "n" tal que nx>y
Dado que el conjunto de los enteros positivos no es acotado superiormente, existe n elemento del conjunto de los enteros positivos tal que de donde se sigue que nx >y
Sea n contenido N con alfa=x, y=1 donde alfa>0 dado que x>0 por lo tanto bajo la propiedad arquimediana existe n' tal que n´x>1 si para todo N se cumple N^3 >= n´
si x>0 entonces N^3 por x >= n´x>1
entonces
N^3 por x > 1
finalmente
x> 1/N^3
¿Me puede decir si es correcta mi demostración, o en su defecto qué es lo correcto? Gracias
1 Respuesta
Demuestra que si x es cualquier número real mayor que cero, x > 0, entonces existe N en los naturales tal, que: 1/N^3<x
Está bien, pero en un momento determinado ha aparecido un alfa que no sé qué pinta. También usas n', yo usaría N que es el que nos piden encontrar
La propiedad arquimediana dice que dados dos números x, y, reales con x>0 existe un número natural n tal que nx>y
Entonces para cualquier número x positivo tomaremos y=1, y existirá un número N natural tal que
Nx>1
Por ser N natural se verifica
N <= N^3 ==>
como x es positivo podemos multiplicar por él y se mantiene el sentido desigualdad
Nx <= N^3·x
luego tenemos esta cadena de desigualdades
1 < Nx <= N^3·x
tomando primera y última
1 < N^3·x
Dividimos la desigualdad por N^3 y se mantiene el sentido por ser N^3 positivo
1/N^3 < x
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