Analizar derivabilidad de una función

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La función  y = |x+4|  es una función a trozos.  Calculamos el punto donde el interior del módulo cambia de signo

x+4=0

x = -4

antes de -4 su valor es negativo, por ejemplo tomamos x=-5

-5+ 4 = -1

y después es positivo por ejemplo en x=0

0+4 = 4

Pero la función módulo es siempre positiva, entonces cuando el interior es negativo se le cambia el signo. Con ello los trozos quedan así

y = -x-4   si x < -4

      x+4   si x >= -4

En todos los puntos salvo el 4 la función antes y después del punto es una recta con derivada -1 ó 1

Pero en el punto x=-4 el límite que define la derivada vale -1 por la izquierda y 1 por la derecha, con lo cual no hay derivada

$$\begin{align}&\lim_{h\to 0^-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\\ &\\ &\lim _{h\to 0}\frac{-(x+h)-4+x+4}{h}=-\frac hh=-1\\ &\\ &\\ &\\ &\lim_{h\to 0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\\ &\\ &\lim _{h\to 0}\frac{x+h+4-x-4}{h}=\frac hh=1\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

La función módulo de x+4 es la gràfica de color rojo. Se obtiene de la recta y=x+4, haciendo la simétrica respecto al eje OX de la parte de función negativa.

La función módulo siempre es positiva. Aparece un pico en -4.

Los puntos en pico no son derivables

Es derivable en todos los puntos menos en el -4:

La derivada en -4 por la izquierda es -1

La derivada en -4 por la derecha es 1.

Luego no es derivable en -4.