¿Podria ayudarme con la siguiente ecuacion compleja?
Hola Valero...
La verdad es que no he podido resolver la siguiente ecuación compleja.
Cos(2z) = -3.
He hecho 2 soluciones diferentes yo mismo. Ahora las escribiré para ver si encuentra algún error. Lo que pasa es que con un método (El primero que pondré) no hay solución. Pero con el segundo método, si la hay. Ahora lo escribiré...
Método 1
Cos(2z) = -3
[e^(2z) + e^-(2z)]2 = -3
e^(2z) + e^-(2z) = -6
e^(2z) + 6 + e^-(2z) = 0
e^(2z)[e^(2z) + 6 + e^-(2z)] = e^(2z)(0)
[e^(2z)]^2 + 6e^(2z) + 1 = 0
Hacemos u = e^(2z). Luego
u^2 + 6u + 1 = 0
u = (1/2)[-6 ± √(36 - 4)]
u = (1/2)[-6 ± √32]
u = (1/2)[-6 ± 4√2]
u = -3 ± 2√2
Regresando el cambio de variable
e^(2z) = -3 ± 2√2 Ecuación
Aquí me debo detener, pues hasta este momento no me habían enseñado la función logarítmica. Por lo que tendría que usar otro método. Convirtiendo -3 ± 2√2 a forma exponencial.
w = -3 ± 2√2 (Notar que es negativo en ambas)
|w| = |-3 ± 2√2| = -(-3 ± 2√2) = 3 ± 2√2
arg(w) = pi
La forma exponencial sería
w = |w|e^[i(argw + 2pik)]
w = (3 ± 2√2)^(i pi)
Nos regresamoa a "Ecuacion"
e^(2z) = -3 ± 2√2
e^(2z) = (3 ± 2√2)e^(i pi)
Sea z = x + iy. Entonces
e^[2(x + iy)] = (3 ± 2√2)e^(i pi)
e^(2x + i2y) = (3 ± 2√2)e^(i pi)
e^(2x)e^(i2y) = (3 ± 2√2)e^(i pi)
Por igualdad de números complejos en la forma exponencial, serán iguales si sus módulos son iguales y sus argumentos difieren en 2pik.
a) e^(2x) = (3 ± 2√2)
b) 2y = pi + 2pik
e^(2x) = (3 ± 2√2)
x = (1/2)ln(3 ± 2√2)
2y = pi + 2pik
y = (1/2)(pi + 2pik)
Solución
z = x + iy
z = (1/2)ln(3 ± 2√2) + i(1/2)(pi + 2pik)
Método 2
Cos(2z) = -3
Hacemos w = 2z, donde w = u + iv.
Cos(w) = Cos(u + iv) = -3
Cos(u)Cosh(v) - i[Sen(u)Senh(v)] = -3 + 0i
Por igualdad de complejos
a) Cos(u)Cosh(v) = -3
b) -Sen(u)Senh(v) = 0
Trabajando la b)
-Sen(u)Senh(v) = 0
u = kpi
v = 0
Sustituyendo en a)
Cos(kpi)Cosh(0) = -3
(+/- 1)(1) = -3
Lo cual es absurdo. Por lo que no hay solución simultanea.
Por lo tanto, no hay solución a la ecuación.
1 respuesta
·
Yo no llegué a estudiar esto. Si me pasarás la teoría me vendría bien, aunque te digi que seguramente no tendré tiempo de mirarla. He mirado todo lo que has hecho son asombro, con razón llaman complejos a estos números.
En el final tienes el fallo:
-Sen(u)Senh(v) = 0
esto significa que
u = k·pi
o que
v=0
No significa que sea las dos cosas a la vez, basta con que se cumpla una de las dos para que
-Sen(u)Senh(v)=0
1)
Entonces si se cumple u=k·Pi
Cos(kpi)Cosh(v) = -3
Si k es par
Cosh(v) = -3 no es posible
Si k es impar
-cosh(v) = -3
cosh(v) = 3
v=argch(3)
·
2)
Si se cumple v=0
cos(kpi) = -3 absurdo
·
Luego la solución es
u = (2k+1)pi
v = argch(3) = ln(3+sqrt(3^2-1)) = ln(3+sqrt(8))
$$\begin{align}&u = (2k+1)\pi\\ &\\ &v = argch(3) = ln(3+\sqrt{3^2-1} = ln(3+\sqrt 8)\\ &\\ &2z =(2k+1)\pi +ln(3+\sqrt 8)·i\\ &\\ &z = (2k+1)\frac \pi 2 +\frac{ln(3+ \sqrt 8)}{2}i\\ &\\ &\text{o también}\\ &\\ &z = (2k+1)\frac \pi 2 +ln \left(\sqrt{3+ \sqrt 8}\right)i\end{align}$$Que creo coincide con la solución que encontraste con el método 1.
¿O están al revés?
Pues revisa lo anterior que ha hecho que lleguemos a intercambiar las partes reales e imaginarias, yo no sé muy bien lo que hiciste y como lo desconozco no puedo corregirlo.
Tiene mucha razón, me fallo en el método 2 los de las ecuaciones, que por cierto, la solución es correcta la que usted ha puesto.
Se ve diferente que el método 1 pero porque también me equivoque en el método 1 al poner [e^(2z) + e^-(2z)]2 = -3 en lugar de [e^(i2z) + e^-(i2z)]2 = -3,
Y bueno, lo de la teoría no encuentro en ningún libro. Lo único que encuentro son las fórmulas de senos y cosenos complejos en el churchill y otros libros pero no dan ejemplos. Lo que he hecho es por lo aprendido en clase y/o intento mío.
Muchas gracias Valero!
¡Gracias!
