Demostración matemática para encontrar los valores en un producto escalar
Maestro Valero:
Puede orientarme si la siguiente demostración es válida.
Sea theta: R^2 x R^2 entonces R dada por theta((x,y),(a,b)) = xa-xb-ya + (gama)yb. Encontrar todos los valores de alfa que pertenece a los R, la los cuales theta es un producto escalar en R^2.
Como deberá cumpli las propiedades de un producto escalar, siendo el producto escalar en R
Entonces
<ax+by,z> = a<x,z> + b<y,z>
<x,ay+bz> = a<x,y> + b<x,z>
<x,y> = <y,x>
<x,x> ≥0 y es 0 <==> x=0
Entonces probando con la última
f((x,y),(x,y)) = xx - xy - yx + γyy = xx + γyy ≥ 0
por lo tanto debe ser positivo ya que de lo contrario los vectores de la forma (0,a)
serían de un producto consigo mismo negativo.
En la propiedad conmutativa
f((x,y),(a,b)) = xa - xb - ya + γyb
f((a,b),(x,y)) = ax -ay -bx +γby
se cumple
Y la propiedad lineal primera
f(r(x,y)+s(u,v) ,(a,b)) =
f((rx+su,ry+sv),(a,b)) =
(rx+su)a - (rx+su)b - (ry+sv)a + γ(ry+sv)b =
r(xa - xb -ya +γyb) + s(ua - ub - va + γvb) =
r•f((x,y),(a,b)) + s•f((u,v),(a,b)
y la segunda se demuestra por lo tanto al ser conmutativa se cumple,
Sea
f((x,y),(x,y)) = xx - xy - yx +γyy = x^2 - 2xy + γy^2 ≥ 0
x^2 - 2xy + y^2 + (γ-1) y^2≥0
(x+y)^2 +(γ-1) y^2 ≥0
(γ-1) y^2 ≥ -(x+y)^2
γ-1 ≥ - (x+y)^2/y^2
γ ≥ 1 - (x+y)^2/y^2
Lo que se resta puede ser 0 pero no negativo,
por lo tanto la solución es que sirve cualquier γ ≥ 1
Lara Alllnah!
·
Lo que he visto está todo bien. Pero otra vez no uses esa letra griega gamma, usa la alfa, la beta o cualquier otra que esa apenas se distingue con la y.
Unícamente te falta demostrar que
<x,x>=0 <==> x=0
Para completar la demostración de que es un producto escalar.
De izquierda a derecha
0=<(x,y), (x,y)> xx - xy - yx + γyy = xx + γyy = x^2 + γy^2 =0
Como γ >=1 tenemos la suma de dos téminos positivos, que solo puede ser 0 si los dos términos son cero
x^2 = 0 ==> x=0
γy^2 = 0 ==> y^2 = 0 ==> y=0
De derecha a izquierda
<(0,0) , (0,0)> = 0·0 - 0·0 - 0·0 + γ·0·0 = 0
¡Gracias! Maestro Valero
Perdón, falla una cosa, debe ser γ > 1 estrictamente mayor que 1 porque si es 1 tendremos
<(x,x)(x,x)> xx - xx - xx +1·xx =0
Y tenemos un elemento distinto de (0,0) cuyo producto consigo mismo es 0.
Tuve un fallo bastente gordo, ahora lo corrijo:
De izquierda a derecha
0=<(x,y), (x,y)> xx - xy - yx + γyy =
xx + γyy = x^2 - 2xy + γy^2 =
x^2 - 2xy + y^2 + (γ-1)y^2
(x-y)^2 +(γ-1)y^2
Como γ >1 tenemos la suma de dos téminos no negativos, que solo puede ser 0 si los dos términos son cero
(x-y)^2 = 0 ==> x-y=0 ==> x=y
y el segundo
(γ-1)y^2 = 0 ==>
como γ >1 ==> γ-1 >0 ==> y=0
entonces la conclusión de las dos es
x=y=0
luego (x,y)=(0,0)
Y eso es todo, recuerda, es γ>1 nosirve el =.
