Problema de matemática de sistema de inecuación con 2 incógnitas ;z
Encuentra la región solución de cada sistema.
1) Desde el Municipio le explican a la señora Adelina, propietaria de un terreno rectangular, que para la construcción y ampliación de veredas, de acuerdo al plano regulador del sector, su terreno disminuiría en una franja de 3 metros en el frente de su casa. Este terreno se podría compensar con una franja de 5 metros de ancho del terreno colindante al de su casa, que es un terreno municipal. ¿Cuáles son las medidas mínimas delterreno, suponiendo que el largo mide 10 metros más que el ancho, para que esta decisión favorezca a la señora Adelina?
a) ¿Qué hubiera pasado si inicialmente el ancho del terreno hubiera sido el doble del largo?
b) Y, ¿si el terreno hubiese sido cuadrado?
c) III.Y, ¿Si el terreno hubiese quedado cuadrado después de las modificaciones?
Gustavo Alvarado!
·
Puesta la finca como un rectángulo supongo que quieren llamar frente a la base y ancho a la altura. Qué pena que haya tantos sinónimos y siempre tengamos que reflexionar sobre qué medida corresponde a cada cual.
Llamemos x al frente o base y llamemos y al ancho o altura.
El área actual es
a = xy
y la que quedará después es
a' = (x-3)(y+5) = xy + 5x - 3y -15
La diferencia entre lo que tendrá y lo que tiene es
d = a' - a = xy + 5x - 3y -15 - xy = 5x - 3y -15
Para que salga ganando dicha diferencia debe ser positiva
5x - 3y -15 > 0
Y ahora nos dicen que el largo mide 10 metros más que el ancho. Ves lo que te decía sobre las mil maneras de referirse a lo mismo, el largo es lo que antes llamaban frente que nosotros llamamos x.
Esa condición se traduce en la ecuación
x = y+10
sustituimos en la desigualdad de situaciones favorables
5(y+10) - 3y - 15 > 0
5y + 50 - 3y - 15 > 0
2y +35 >0
2y >-35
y>-35/2
Y esto se cumple para cualquier valor de ancho ya que este será positivo.
Luego sale ganando siempre
·
a)
Si el ancho es el doble del largo
y=2x
Sustituyendo en la desigualdad de diferencia positiva
5x - 6x -15 > 0
-x -15 > 0
-x > 15
x < - 15
Y esto no puede darse nunca ya que x debe ser positivo.
Luego si el ancho es el doble del largo pierde siempre
·
b)
Si el terreno hubiera sido cuadrado tenemos x=y
entonces la desigualdad de situaciones favorables queda en
5x - 3x -15 > 0
2x - 15 >0
2x > 15
x > 15/2 = 7.5 m
como y=x entonces y>7.5m
Luego la finca cuadrada debe tener más de 7.5m para que sea favorable
·
c)
Si el terreno huibiera quedado cuadrado tras las modificaciones sería
x-3 = y+5
x =y+8
Sustituyendo como siempre en la desigualdad de situaciones favorables
5(y+8) - 3y -15 > 0
5y + 40 - 3y - 15 > 0
2y +25 >0
2y > -25
y > -12.5
Y esto se cumple siempre.
Luego si al final queda una finca cuadrada sale ganando siempre.
·
Y esto es todo.
Ves lo que te decía de la confusión por tener tantos nombres las cosas, el otro experto ha llamado frente a la altura y ancho a la base. ¿No tendría un dibujo el ejercicio?
1 respuesta más de otro experto
Gustavo Alvarado
Sino es mucho preguntar, ¿a qué curso y edad corresponden estos problemas en Chile? (Simple curiosidad)
Las dimensiones iniciales del terreno son ancho AC=x, largo y=AB luego superficie inicial=xy
Ai=xy
Después de la expropación y compensación: el ancho disminuye 3m, y el largo aumenta 5 m
luego la superficie final es Af=(x-3)(y+5)
Para que la decisión favorezca a Adeleina se ha de cumplir Af>Ai
$$\begin{align}&(x-3)(y+5)>xy\\ &xy+5x-3y-15>xy\\ &\\ &5x-3y>15\\ &\\ &Como\\ &y=10+x\\ &5x-3(10+x)>15\\ &5x-30-3x>15\\ &2x>45\\ &x>22,5m\end{align}$$Luego para anchos mayores de 22,5 metros favorece a Adelina. El largo será 10 metros más
a) Si el ancho inicialmente doble largo x=2y
$$\begin{align}&x=2y\\ &\\ &La \ inecuación \ ahora \ quedaría\\ &5x-3y>15\\ &5(2y)-3y>15\\ &7y>15\\ &y>\frac{15}{7}m=2,14m\end{align}$$A partir de largos mayores de 2,14 m y anchos la mitad, favorece a Adelina
b) Si el terreno incialmente es cuadrado x=y
La inecuación quedaría
$$\begin{align}&5x-3y>15\\ &x=y\\ &5x-3x>15\\ &2x>15\\ &x>7,5 m\end{align}$$Luego para terrenos cuadrados de lado mayor que 7,5 m favorece a Adelina.
c) Si el terreno queda cuadrado al fina, se cumplirá x-3=y+5
$$\begin{align}&x-3=y+5\\ &y=x-8\\ &\\ &Sustituyendo \ inecuación:\\ &5x-3y>15\\ &\\ &5x-3(x-8)>15\\ &\\ &5x-3x+24>15\\ &\\ &2x>15-24\\ &\\ &x>-4,5\end{align}$$Lo cual quiere decir que para cualquier terreno que al final quedará cuadrado le favorece a Adelina,
Ya que siempre la longitud es positiva.
Una cuestión de apreciaciones. Como siempre, muchísimas gracias por tus comentarios.Un saludo - Lucas m