¿Pueden mostrarme el análisis del concepto de funciones continuas y discontinuas en función a su aplicación?

Te dejo la imagen de la gráfica de la función

La función atraviesa el eje de las Y'es cuando X = 0, la función que aplica en esta parte del dominio es f(x) = 3-2x y f(0) = 3-2*0 = 3

Respecto a si la función es o no continua, tal cual está definida NO lo es, ya que si ves la definición te dice cuanto vale si x > 2 y cuanto si x < 2; pero en ningún lugar dice cuanto vale cuando x = 2

Así que la función NO es continua (en caso que alguna de las 2 desigualdades sea con igual, entonces sí la función es continua y para demostrarlo habría que aplicar el límite del otro lado de la igualdad y ver que converge al mismo valor -en este caso -1)

Y la respuesta al segundo problema es:

1) En t=2 la función es continua. Su valor es -100·2 + 600 = 400

No hay problema ya que en un entorno de t=2 la función es la misma y es una función continua.

2) En t=5 debemos ver si el límite por la derecha y la izquierda coinciden, y coinciden con el valor de la función.

El límite por la izquierda es -100·5 + 600 = 100

El límite por la derecha es -100·5 + 110 = -390

No coinciden los límites luego no es continua

3) En t=15 solo podemos aplicar el límite por la izquierda que es

-100·15+1600 = 100

y el valor de la función es ese mismo

-100·15 + 1600 = 100

Luego es contínua.

Puede ser discutible si en los extremos es continua o no, pero si aplicas a rajatabla la definición de función continua lo es, es continua. En la definición se dice que en los puntos de la intersección de todo entorno del punto 15 con el dominio de la función se puede encontrar un delta tal que el valor absoluto de los valores de la función en esos pùntos menos el valor de la función en el punto 15 es menor que epsilon. Y eso se cumple ya que los puntos por encima del 15 son rechazados por la definición.

Y eso es todo.

2.- f(t) es una función de tres trozos lineales. Luego en principio la función es continua en todos los puntos, excepto en el 5 i en el 10, que es donde cambian las funciones. En estos casos hay que hacer los limites laterales por la izquierda y por la derecha para ver si se juntan las rectas o bien saltan

a)

$$\begin{align}&f(2)=400\\&\lim _{t \to 2}f(t)=400\\&Es \ continua\\&\\&b)\\&\lim_{t \to 5^-}f(t)=\lim_{x \to 5}(-100t+600)=-500+600=100\\&\\&\lim_{t \to 5^+}f(t)=\lim_{x \to 5}(-100t+110)=-390\\&\\&No \ coinciden \ los \ valores \Rightarrow Discontinua \ de \ salto\\&\\&\end{align}$$

c) f(15)=-1500+1600=100

Al ser el punto final y estar definida es continua