Clasificación de Isometria dada una matriz
estoy trancadisimo en el siguiente ejercicio: 
La respuesta es la C, simetría respecto a la recta, pero no se como llegar a esa solución, ni que hacer con las matrices dadas.
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Desconozco la teoría que hayas dado sobre esto, voy a ver si puedo hacer algo.
C(Id)B
Es la imagen de la base canónica en función de B, cada columna de esa matriz es la imagen de un elemento de la base canonica
(1,0,0) = b1 + 2·b2 + b3
(0,1,0) = b1- b3
(0,0,1) = 2·b1- b2
Si restamos los dos primeros al tercero quedará
(-1,-1, 1) = -3·b2
b2= (1/3, 1/3, -1/3)
ahora vamos a la tercera
(0,0,1) = 2·b1 - (1/3, 1/3, -1/3)
2·b1 = (1/3,1/3,1-1/3) = (1/3, 1/3, 2/3)
b1 = (1/6, 1/6, 1/3)
Y ahora a la segunda
(0,1,0) = (1/6,1/6,1/3) - b3
b3 =(1/6, 1/6, 1/3) - (0,1,0) = (1/6, -5/6, 1/3)
Luego la base B es
B={(1/6, 1/6, 1/3), (1/3, 1/3, -1/3), (1/6, -5/6, 1/3)}
Voy a comprobarlo antes de seguir
b1+2b2+b3 = (1, 0, 0)
b1-b3 = (0, 1, 0)
2b1-b2 = (0, 0, 1)
Vale, está bien.
Y ahora veamos la imagen por la transformación T de la base canónica
T(1,0,0) = b1+ 2b2 + b3 = (1,0,0)
no ha hecho falta hacer cuentas, ese resultado lo teníamos un poco arriba
T(0,1,0) = -b1 + b3 = (0,-1,0)
también estaba arriba salvo por el signo
T(0,0,1) =-2·b1+b2 = (0, 0, -1)
Luego es una transformación que el vector (1,0,0) lo deja igual pero los vectores (0,1,0) y (0,0,1) los transforma en sus opuestos.
Y eso es una reflexión respecto de la recta conocida como eje X, y la ecuación del eje X es
y=0
z=0
Pues a mi entender es una reflexión sobre una recta (el eje X), pero no sobre la que dicen.
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Y eso es todo, espero te haya servido de algo mi ayuda. Seguramente se resuelve por métodos distintos pero esto es lo que yo he podido hacer.
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Bueno ahora que lo veo he hecho muchas cuentas innecesarias. Empezamos de nuevo
Simplemente por comparación de las columnas de las matrices de la transformación T y de la Identidad se deduce que
T(1,0,0) = Id(1,0,0) = (1,0,0)
T(0,1,0) = -Id(0,1,0) = (0,-1,0)
T(0,0,1) = -Id(0,0,1) = (0,0,-1)
Y a partir de ahí lo que dije, es una reflexión sobre la recta
y=0
z=0
que si quieres la podrás expresar de otras formas
y-z=0
y+z=0
o también
2y-3z = 0
y+4z = 0
Pero nunca puedes meter la x en las ecuaciones de esa recta tal como la han metido en la solución que dan.
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Por cierto, la clase de isometría la he hecho por una sencilla intuición geométrica. Supongo que te habrán enseñado a clasificarlas según la forma de la matriz canónica, los valores propios, etc.
La matriz de estas transformación con base C como origen y destino es
1 0 0
0 -1 0
0 0 -1
Con valores propios 1 y dos veces -1.
En este caso la teoría dice que es una reflexión sobre una recta, o lo que es lo mismo, un giro de 180º sobre esa recta.
Y dice que el eje de giro es el espacio generado por el valor propio 1
Que sería
1-1 0 0 | 0
0 -1-1 0 | 0
0 0 -1-1 | 0
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0 0 0 | 0
0 -2 0 | 0
0 0 -2 | 0
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cuya solución es
y=0
z=0
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También puede servirte que la transfomación de C a C es
T(x,y,z) = (x,-y.-z)
Y eso es todo.
