Anónimo
Resolución de integrales indefinidas por el método de sustitución (5)
Integrales indefinidas por el método de sustitución. Recuerda que ahora todos los resultados están expresados como funciones más la constante de integración “C”
5.
$$\begin{align}&\int \sin^2 ax*\cos ax * dx = \frac{\sin^3ax}{3a}+c\end{align}$$
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Como ya te apuntaba en un ejercicio anterior, se trata de buscar una función cuya derivada sea uno de los factores de la integral, asi ese factor será comido por la diferencial del cambio. Y además esa función debe hacer que al cambiarla en los otros factores nos quede una integral inmediata. Es un poco lioso pero con la práctica te darás cuenta de ello.
Esa función de la que hablo será sen(ax) ya que su derivada a·cos(ax) es un factor (salvo constantes) de la ingtegral
$$\begin{align}&\int sen^2 ax·\cos ax \; dx=\\&\\&t=sen\, ax\\&dt=a·\cos ax \;dx\implies \cos ax\;dx=\frac{1}{a}dt\\&\\&=\int t^2·\frac 1a dt=\\&\\&\frac 1a·\frac{t^3}{3}+C =\\&\\&\frac{sen^3ax}{3a}+C\\&\end{align}$$Y eso es todo.