Como podría finalizar este calculo de Área
sea R:{(xy): 0≤ x ≤4; y≤ y ≤2y } dxdy f(xy)=18x + e^y
1 Respuesta
Diosa Lara!
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Imagino que quieres decir esto:
$$\begin{align}&\int_0^4\int_{???}^{???} (18x+e^y)dydx\end{align}$$Y he dejado los interrogantes en los límites de integeración de y porque están mal definidos. Una buena definición para ellos, que yo creo que es la buena, sería
x <= y <= 2x
Mira a ver si el enunciado dice eso u otra cosa, pero lo que has escrito no tiene sentido común. Si que tiene un sentido pero bastante profundo, no es habitual que te hayan puesto esa definición de los límites de y.
Perdón, cometí un error al querer aclara mi duda
sea R:{(xy): 0≤ y ≤4; y≤ x ≤2y } dxdy f(xy)=18x + e^y
de esta manera esta planteado.
$$\begin{align}& \end{align}$$Bueno, ahora está bien definido.
Se toma como variable de la integral externa la que tiene límites constantes y como integral interna la que tiene límites variables
$$\begin{align}&\int_0^4\int_y^{2y}(18x+e^y)dx\;dy=\\&\\&\text{integramos la interna que es respecto de x}\\&\\&\int_0^4\left[9x^2+e^yx \right]_y^{2y}dy=\\&\\&\text{es la x lo que debe evaluarse con los límites}\\&\\&=\int_0^4\left(9(2y)^2+e^y(2y)-9y^2-e^yy \right)dy=\\&\\&\int_0^4(36y^2+2ye^y-9y^2-ye^y)dy=\\&\\&\int_0^4(27y^2+ye^y)dy=\end{align}$$La integral de y·e^y es una integral por partes muy sencilla, si no sabes hacerla me lo dices, el resultado e:
y·e^y - e^y = (y-1)e^y
$$\begin{align}&\int_0^4(27y^2+ye^y)dy=\\&\\&\left[9y^3+(y-1)e^y \right]_0^4=\\&\\&9·4^3+(4-1)e^4-0-(0-1)e^0=\\&\\&576+3e^4+1 =\\&\\&577 + 3e^4\end{align}$$Y eso es todo.
Muchas gracias. Es a esa parte justamente a la que yo quería llegar, la integral por partes en cuanto al euler.
A lo mejor no había entendido la pregunta. A nosotros que yo recuerde no nos dijeron que la integral por partes se llamaba de Euler.
La resuelvo por sio es eso lo que quieres
$$\begin{align}&\text{La fórmula es:}\\&\\&\int u\,dv = uv-\int v\,du\\&\\&\int ye^y dy=\\&\\&u=y\quad\quad\quad du=dy\\&dv=e^y\,dy\quad \;v=e^y\\&\\&= ye^y -\int e^ydy = ye^y-e^y=e^y(y-1)\end{align}$$Y eso es todo.
¡Gracias! Disculpe mi error, en efecto no se le dice euler a la integral por partes, solo que estaba estancada en ese proceso, ahora ya entiendo lo demás, muchas gracias por sus aclaraciones. Dios le Bendiga.
