Calcular la integral indefinida ∫(4x^2 dx)/(1-8x^3 )^4 y comprobarla por derivación

Fred Ro!

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Si se hace bien la inbtegral y la derivada debe dar lo mismo. Puede haber algunos casos en que parezca que no son iguales pero lo son, como por ejemplo en las miles de identidades que hay entre funciones trigonométricas. Pero en funciones racionales una vez simplificadas y llevadas a la misma forma tendrían que coincidir.

$$\begin{align}&\int \frac{4x^2}{(1-8x^3)^4}dx=\\&\\&u=1-8x^3\\&du=-24x^2dx\implies4x^2dx = -\frac 16du\\&\\&=-\frac 16 \int \frac{du}{u^4}=-\frac 16\int u^{-4}du =\\&\\&-\frac 16·\frac{u^{-3}}{-3}+C= \frac{1}{18}u^{-3}+C=\\&\\&\frac{1}{18(1-8x^3)^3}+C\end{align}$$

La integral está bien.

Y la derivada se puede hacer así o poniendo el denominador como numerador con exponente negativo, da lo mismo

$$\begin{align}&\left(\frac{1}{18(1-8x^3)^3}+C\right)'=\\&\\&\text{usando la fórmula } \left(\frac 1u\right)'=-\frac{u'}{u^2}\\&\\&=-\frac{3·18(1-8x^3)^2·(-24x^2)}{18^2(1-8x^3)^6}=\\&\\&\frac{3·24x^2}{18(1-8x^3)^4}=\frac{4x^2}{(1-8x^3)^4}\\&\\&\text{o de la otra forma}\\&\\&\left(\frac{(1-8x^3)^{-3}}{18} +C \right)'=\\&\\&\frac{-3(1-8x^3)^{-4}·(-24x^2)}{18}=\\&\\&\frac{72x^2(1-8x^3)^{-4}}{18}=\\&\\&\frac{4x^2}{(1-8x^3)^4}\end{align}$$

Y eso es todo.