Solución de derivada con el método de la cadena

Disculpa, no consideres mi respuesta anterior. Me faltó considerar la multiplicación.

Te voy a enseñar a derivar un producto de funciones.

En tu ecuación tienes 2 funciones:

La primera función es

$$\begin{align}&x\end{align}$$

La segunda función es:

$$\begin{align}&(x-4)^3\end{align}$$

La derivada de un producto de funciones dice:

$$\begin{align}&y = u·v\\& \\&y' = u·v' + u' ·v\end{align}$$

La primera función por la derivada de la segunda función

Mas

La segunda función por la derivada de la primera función.

Resolviendo tu ecuación tenemos:

$$\begin{align}&La\ primera \ función \ por\ la \ derivada \  de \ la \ segunda \ función\\&\\&f(x)=x·3(x-4)^{3-1}\\& \\&Como\  la\  segunda\  función\  es\  un\  exponente\  tenemos\  que\  multiplicar\ por\  la \ derivada \ de \ lo \ de \ adentro,\\&La\  derivada\  de\  \\&(x-4) = 1\\& \\&Entonces queda:\\& \\&f(x)=x·3(x-4)^{3-1} ·1\\& \\&mas   \ +\\& \\&La \ derivada \ de \ la \ primera \ función \ por \ la \ segunda \ función\\&\\& 1 · (x-4)^3\\& \\&quedaría \ así:\\&\\&f(x)=x·3(x-4)^{3-1} · 1 + 1 · (x-4)^3\\& \\& \\&f(x)=3x(x-4)^{2} + (x-4)^3\end{align}$$

Te dejo otro vídeo para que puedas entender cómo derivar funciones con el método de la cadena.

https://www.youtube.com/watch?v=BCw1jqeSjRU 

Saludos. Dante Amor

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Hay que usar la regla de la cadena y casi más importante la regla de la derivada del producto que es

(f·g)'(x) = f '(x)·g(x) + f(x)·g'(x)

Y la regla de la cadena es

f(g(x))' = f'(g(x)) · g'(x)

Con todo ello la derivada es:

$$\begin{align}&f(x)=x(x-4)^3\\&\\&f'(x) = 1·(x-4)^3+x·3(x-4)^2·1=\\&\\&(x-4)^3 +3x(x-4)^2 =\\&\\&\text{Simplificamos sacando factor común}\\&\\&=(x-4)^2(x-4+3x) =\\&\\&(x-4)^2(4x-4)=\\&\\&4(x-4)^2(x-1)\\&\end{align}$$

Y así es como se debe dejar, no obstante si quieres ponerla en forma de polinomio efectáa los paréntesis y tiene que darte

f'(x) = 4x^3 - 36x^2 + 96x - 64

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Y eso es todo.