¿Como puedo determinar la siguiente función lo mas simplificada posible?

Roberto Ávila!

$$\begin{align}&f(x)=(2x-1)^2(9-x)=(4x^2-4x+1)(9-x)\\&\\&\\&1.- Regla \ del \ producto\\&\\&y'=(8x-4)(9-x)+(4x^2-4x+1)(-1)\\&\\&y'=72x-8x^2-36+4x-4x^2+4x-1\\&y'=-12x^2+80x-37\\&\\&2.- \\&y'=0\\&-2x^2+80x-37=0\\&\\&x=\frac{-80 \pm \sqrt{6400-1776}}{-24}=\frac{-80 \pm \sqrt{4624}}{-24}=\frac{-80 \pm 68}{-24}=\\&\\&x_1=\frac{-12}{24}=\frac{-1}{2}\\&\\&x_2=\frac{148}{24}=\frac{37}{6}\\&\\&3.-\\&y''(x)=-24x+80\\&\\&y''(\frac{-1}{2})>0 \Rightarrow mínimo\\&\\&y''(\frac{37}{6})<0 \Rightarrow Máximo\\&\\&4.- Intervalos:\\&(-\infty,\frac{1}{2}) \Rightarrow f'(-10)<0 \Rightarrow decreciente\\&\\&(\frac{1}{2},\frac{37}{6}) \Rightarrow f'(2)>0 \Rightarrow creciente\\&\\&(\frac{37}{6}, \infty) \Rightarrow f'(10)<0 \Rightarrow  decreciente\end{align}$$

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1)

$$\begin{align}&f(x)=(2x-1)^2(9-x)\\&\\&f'(x) = 2·2(2x-1)(9-x)-(2x-1)^2\\&\\&f'(x)=(2x-1)(36-4x-2x+1)\\&\\&f'(x)=(2x-1)(37-6x)\end{align}$$

Y esa es la forma más simplificada y mejor, porque lo siguiente que te van a pedir son los ceros de la derivada y fíjate que de esa forma ya los tienes medio resueltos

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2)

f'(x) = 0 ==> (2x-1) = 0   ó  (37-6x)=0

Luego los ceros son

2x-1=0 ==> x= 1/2

37-6x=0  ==> x = 37/6

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Retorno a 1)

Pero si el profesor quiere que tenga forma de suma se hace y queda

y' = (2x-1)(37-6x) = 74x - 12x^2 - 37 +6x = -12x^2 + 80x - 37

3)

Y esto sirve para hacer mejor la derivada segunda

y''=-24x + 80

Entonces para el punto x=1/2

y''(1/2) = -12 + 80 = 68  luego es un mínimo

y''(37/6) = -4·37 + 80 = -68 es un máximo

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4) Podríamos deducir que la función f(x) es un polinomio de grado 3 cuyo coeficiente director (el de x^3) es negativo (no es necesario hacer todo el producto), con lo cual empieza valiendo infinito en el -infinito. De esta forma sabríamos que el primer intervalo (hasta la raíz menor) es decreciente, el segundo (entre las raíces) es creciente y el tercero (de la raíz mayor al infinito) es creciente.

Pero lo normal es que te hayan enseñado que se calcula el valor de la derivada primera en un punto de cada intervalo y el signo te indica si es creciente o decreciente

f'(x) = -12x^2 + 80x - 37 

(-oo, 1/2) ==> f(0) = -37  ==> decreciente

(1/2, 37/6)==>f(1) = -12+80-37 = 31 ==> creciente

(37/6, oo) ==>f(10) = -1200 +800 -37 = -437 ==> decreciente

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Y eso es todo.