Determina la integral de las funciones siguientes

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La primera es una integral inmediata, simplemente debes conocer la fórmula

$$\begin{align}&\int x^n = \frac {x^{n+1}}{n+1}\end{align}$$

Y aplicar las popiedades de la suma de integrales y del producto por una constante.

$$\begin{align}&\int(2x^5+8x^3-3x^2+5)dx =\\&\\&2\int x^5dx + 8\int x^3dx - 3\int x^2 dx+5\int dx=\\&\\&2·\frac{x^6}{6}+8·\frac{x^4}{4}-3·\frac{x^3}{3}+5x + C=\\&\\&\frac{x^6}{3}+ \frac {x^4}{2}- x^3+5x+C\end{align}$$

Las tres siguientes se hacen por cambio de variable.  Yo cuando hago una integral definida en el cambio de variable hago también el cambio de límites para ponerlos acordes a la nueva variable y no tener que deshacer el cambio al final.  Y la ultima es por partes.

$$\begin{align}&b)\quad\int 2e^{3x-5}dx=\\&\\&t=3x-5\\&dt = 3dx\implies dx=\frac 13 dt\\&\\&=2·\frac 13\int e^t dt=\\&\\&\frac 23 e^t+C=  \frac 23 e^{3x-5}+C\\&\\&\\&\\&c)\quad\int 8x^2(4x^3-5)^4dx=\\&\\&t=4x^3-5\\&dt=12x^2dx  \implies x^2dx= \frac {1}{12}dt\\&\\&=8·\frac 1{12}\int t^4dt=\\&\\&=\frac 23·\frac{t^5}{5}+C =\frac{2(4x^3-5)^5}{15}+C\\&\\&\\&\\&d) \quad  \int_2^4 \frac{x}{x^2-1}dx=\\&\\&t=x^2-1\\&dt=2x dx\implies xdx=\frac 12 dt\\&x=2\implies t=3\\&x=4\implies t=15\\&\\&=\frac 12\int_{3} ^{15}\frac {dt}{t}=\\&\\&\left.\frac 12 lnt\right|_3^{15}=\frac{ln15-ln3}{2}\\&\\&\\&\\&e)\quad \int xe^{0.5x}dx =\\&\\&\text{esta se hace por partes}\int udv=uv-\int vdu\\&u=x \quad\quad\quad\quad du=dx\\&dv=e^{0.5x}dx \quad v=2e^{0.5x}\\&\\&= 2xe^{0.5x}|_0^1-\int_0^1 2e^{0.5x}dx=\\&\\&2e^{0.5}-0 -\left[4e^{0.5x}  \right]_0^1 =\\&\\&2e^{0.5}-4e^{0.5}+4e^0=4-2e^{0.5}\end{align}$$

Y eso es todo.