¿Determina el cambio de precio que debe haber para que la cantidad demanda aumente de 30 a 50 unidades?
Dada la función de la demanda por la siguiente formula:
- Determine el cambio de precio que debe haber para que la cantidad demanda aumente de 30 a 50 unidades. Explique con palabras el resultado.
- Calcula el cambio instantáneo en el precio cuando se tiene una cantidad demandada igual a 42
- Calcula el cambio instantáneo en el precio cuando se tiene una cantidad demandada igual a 25
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Tenemos una función p(q), pero cuando nos hablan de cambio de p para que q aumente, están refiriéndose a incremento de q respecto de p. Será mejor poner la función inversa q(p) para hacer estos cálculos.
$$\begin{align}&p= -20ln\left(\frac q{500}\right)\\&\\&-\frac{p}{20}=ln\left(\frac q{500}\right)\\&\\&e^{-p/20}= \frac{q}{500}\\&\\&q=500e^{-p/20}\\&\\&\text{Denotamos que q es la función de p}\\&\\&q(p)=500e^{-p/20}\\&\\&\text{para 30 y 50 unidades}\\&\\&p(30) = 500e^{-30/20}= 111.56508\\&p(50) = 500e^{-50/20}= 41.042499\\&\\&\text{luego el cambio de precio es}\\&\\&41.042499 - 111.56508 = -70.52209\\&\end{align}$$Para que la demanda pase de 30 a 50 unidades se debe reducir el precio de cada unidad en 70.52209, desde 111.56508 hasta 41.042499
b) El cambio instantaneo es la derivada del precio respecto de la cantidad
p(q)=-20ln\left(\frac{q}{500} \right)
p'(q)=-\frac{20}{\frac q{500}}·\frac 1{500}=-\frac {20}q
p'(42) = -\frac{20}{42}=-\frac{10}{21}\approx-0.4761904762
p'(25) = -\frac {20}{25}=-\frac 45=0.8
Hay un fallo y el editor de ecuaciones no me deja escribir la fórmula. Espera que mando la respuesta y a lo mejor después me deja.
Vamos a ver si se puede ahora. Esto era la fórmula del apartado b)
$$\begin{align}&p(q)=-20ln\left(\frac{q}{500} \right)\\&\\&p'(q)=-\frac{20}{\frac q{500}}·\frac 1{500}=-\frac {20}q\\&\\&p'(42) = -\frac{20}{42}=-\frac{10}{21}\approx-0.4761904762\\&\\&p'(25) = -\frac {20}{25}=-\frac 45=0.8\end{align}$$Creo que si.
