¿Cuál es el procedimiento para resolver estas tres integrales?

La primera la resolveremos directamente y la tercera también aunque con algún razonamiento extra. En la segunda haremos cambio de variable con cambio de límites de integración simultáneo. Aunque en realidad se podría hacer de cabeza, pero es más difícil explicarlo que hacerlo con cambio de variable.

e)

$$\begin{align}&\int_0^3 \left(\frac{x^3}{2}-2x^2+x+3 \right)dx=\\&\\&\left[\frac{x^4}{8}-\frac{2x^3}{3}+\frac {x^2}{2}+3x  \right]_0^3=\\&\\&\frac{81}{8}-18+\frac{9}{2}+9-0+0-0-0=\\&\\&\frac{81+36-72}{8}= \frac{45}{8}\end{align}$$

·

f)

$$\begin{align}&\int_2^6 \frac{x}{\sqrt{5x^2+1}}dx=\\&\\&t=5x^2+1\\&dt = 10x\, dx\implies x\,dx=\frac 1{10}dt\\&x=2\implies t=5·2^2+1=21\\&x=6\implies t=5·6^2+1=181\\&\\&=\frac 1{10}\int_{21}^{181}\frac{dt}{ \sqrt t} =\frac 1{10}\int_{21}^{181}t^{-1/2}dt =\\&\\&\frac 1{10}\left. \frac{t^{1/2}}{\frac 12} \right|_{21}^{181}=\left.\frac 1{5} t^{1/2} \right|_{21}^{181}= \\&\\&\\&\frac{\sqrt{181}-\sqrt{21}}{5}\end{align}$$

.

g) Sabemos que:

$$\begin{align}&(3^{1-x})' = 3^{1-x}·ln3·(-1)= -ln3·3^{1-x}\\&\\&\text{y para que eso sea el integrando debemos} \\&\text{multiplicar por una constante y así la}\\&\text{derivada sería}\\&k(-ln3)·3^{1-x}=3^{1-x}\\&k·(-ln3) = 1\\&k = -\frac 1{ln3}\\&\\&\text{con lo cual la integral es}\\&\\&\left.-\frac{1}{ln3}·3^{1-x}\right|_0^2=\\&\\&-\frac{1}{ln3}·(3^{1-2}-3^{1-0})=\\&\\&-\frac{1}{ln3}(3^{-1}-3^1)=\\&\\&-\frac{1}{ln3}\left(\frac 13-3  \right)=\\&\\&-\frac{1}{ln3} ·\frac{-8}{3}= \frac{8}{3\,ln3}\\&\\&\text{Si quieres hasta puedes poner }\\&\\&\frac 8{ln\, 27}\end{align}$$

·

¡Gracias! Valero. Queri saber, ¿si también se puede resolver mediante susticion? y de ser así, ¿Cómo se haría? Si se puede, dime para volver a publicar la pregunta, para valorar tu trabajo. Gracias y saluditos :)

La primera no, la primera se resuelve directamente con la fórmula

$$\begin{align}&\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\end{align}$$

y las consabidas propiedades de la suma de integrales y el producto por una constante.

La tercera si se puede hacer por cambio de variable. Si quieres mándala y la hacemos de esa forma. Aunque yo pensé que era mejor sin cambio de variable.

Ok, gracias. Y una duda, me dicen que el resultado debe de estar en números reales, como el inciso e) anexo link de pregunta (¿Resultados en números reales en las integrales definidas? ) Saludos.

Precisamente están expresadas en números reales. Si tomaras la calculadora, operases y escribieses el resultado con tres o cuatro decimales es cuando no estarías escribiendo la respuesta real exacta. Por eso no se efectúa ninguna raíz cuadrada cuyo resultado no sea exacto, no ningún logaritmo, ni seno que no tenga un resultado exacto, no se escribe 2.71 como el número e ni 3.14 como pi. Esas son algunas de las normas para escribir en números reales.

Y por ejemplo, si el resultado me salio In5 , para pasarlo en numero real, como lo hago con la caluladora? Saludines

Ok valero, ya comprendí. Gracias por la ayuda. Saluditos.