Problemas con valores iniciales y la transformada de Laplace
Hola me podrían ayudar con el siguiente ejercicio, valor inicial con la transformada de Laplace
y''+4y=9t cuando y(0)=0; y'(0)=7
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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$$\begin{align}& \end{align}$$¡Hola Jesús!
·
Hagamos la transformada de Laplace en ambos lados, llamaré z a la transformada de y.
$$\begin{align}&s^2z - s·f(0) - f'(0) + 4z = 9·\frac 1{s^2}\\&\\&s^2z-7 +4z=\frac{9}{s^2}\\&\\&z(s^2+4) = \frac{9}{s^2}+7\\&\\&z(s^2+4)=\frac{9+7s^2}{s^2}\\&\\&z = \frac{9+7s^2}{s^2(s^2+4)}\\&\\&\text {Hay que descomponer eso}\\&\\&\frac{a}{s}+\frac{b}{s^2}+\frac{cs+d}{s^2+4}\\&\\&as(s^2+4)+b(s^2+4)+ds^2=9+7s^2\\&\\&as^3+(b+d)s^2+4as+4b=7s^2+9\\&\\&a=0\\&b+d=7\\&4b=9 \implies b=\frac 94\implies d=7-\frac 94=\frac{19}{4}\\&\\&z=\frac{9}{4}·\frac 1{s^2}+\frac {19}{4}·\frac{1}{s^2+4}\\&\\&\text{lo terminamos de peinar}\\&z=\frac{9}{4}·\frac 1{s^2}+\frac {19}{8}·\frac{2}{s^2+4}\\&\\&\text{y calculamos la transformada inversa}\\&\\&y=\frac{9}{4}t +\frac {19}8cos (2t)\end{align}$$·
Y eso es todo.
