¿Cómo determinar utilidades e ingresos de la siguiente función?

·

La utilidad son los ingresos menos los gastos. La función de los ingresos ya nos la dan explícitamente. La de los gastos la tendremos que crear como la suma del costo variable y del costo fijo

C(x) = 25x + 97500

Con todo esto la función de utilidad es

$$\begin{align}&U(x) = I(x)-C(x)=\\&\\&1320x-x^2 -(25x+97500)=\\&\\&-x^2 +1320x - 25x -97500 =\\&\\&-x^2+1295x - 97500\\&\\&\text{la utilidad por 500 libros será}\\&\\&U(500) = -500^2+1295·500-97500=\\&\\&-25000 + 647500-97500 =$525000\\&\end{align}$$

El ingreso máximo lo obtendra cuando la derivada primera sea 0 y la segunda sea menor que 0

$$\begin{align}&I(x)=1320x-x^2\\&\\&I'(x) = 1320-2x=0\\&\\&2x= 1320\\&\\&x = \frac {1320}{2}=660\; libros\end{align}$$

Y con la derivada segunda no hay ningún problema

U''(x) = -2

Que es negativa para cualquier punto.

Y el ingreso máximo será

I(660) = 1320·660 - 660^2 = 660(1320-660) = 660·660 = $435600

·

Y eso es todo.