Cálculo de una integral donde C es el círculo del valor absoluto de z =3
Calcula la integral
$$\begin{align}&∮_Ce^2z/(z+1)^4 dz\end{align}$$Donde C es el círculo |z|=3
1 respuesta
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Se me hace muy rara esa función. ¿La z del numerador está bien así o forma parte del exponente?
Aunque si forma parte del exponente no se podrá integrar por métodos normales.
De todas formas no estoy muy puesto en integración compleja. Y no estoy seguro si se puede aplicar algún teorema que facilite la integración de esta función. ¿Podrías pasarme los apuntes? Creo que los tenía, pero se estropeó el disco duro donde guardaba libros y apuntes de matemáticas.
le mando a su correo la información, gracias
Por cierto la z del numerador no es exponente
No he podido mirar la teoría y no sé si se puede aplicar algún teorema de estos de si f es analítica en el interior del contorno. Pero voy a intentar la integral directa.
$$\begin{align}&\oint_C \frac{e^2z}{(z+1)^4} dz=\\&\\&\text{el circulo parametrizado es }\\&\\&\gamma(t)=3e^{it}\quad t\in[0,2\pi]\\&\gamma'(t) = 3ie^{it}dt\\&\\&= \int_0^{2\pi}\frac{e^2·3e^{it}}{(3e^{it}+1)^4}· 3ie^{it}dt\\&\\&\text{haciendo el cambio}\\&u=3e^{it}+1\\&du=3ie^{it}dt\\&\\&e^2\int \frac{u-1}{u^4}du=\\&\\&e^2\int\left(u^{-3}-u^{-4}\right)du=\\&\\&e^2\left(-\frac{u^{-2}}{2}+\frac{u^{-3}}{3} \right)=\\&\\&e^2\left(-\frac 1{2(3e^{it}+1)^2}+\frac{1}{3(3e^{it}+1)^3} \right)\\&\\&\text{y lo evaluamos}\\&\\&e^2\left[-\frac 1{2(3e^{it}+1)^2}+\frac{1}{3(3e^{it}+1)^3} \right]_0^{2\pi}=\\&\\&e^2\left(-\frac{1}{2(3+1)^2}+\frac{1}{3(3+1)^3}+\frac{1}{2(3+1)^2}-\frac{1}{3(3+1)^3} \right)=\\&\\&e^2·0=0\\&\\&\\&\\&\end{align}$$No estoy muy seguro de lo que he hecho, pero las integrales cerradas dan casi siempre 0, puede estar bien.
