Como puedo resolver estas Integrales definidas y por sustitución.

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Se resuelven ambas por cambio de variable.

$$\begin{align}&a)\quad \int 2x^2(7-3x^3)^5dx=\\&\\&t=7-3x^3\\&dt=-9x^2\,dx\implies x^2\,dx=-\frac 19dt\\&\\&=2·\left(-\frac 19  \right)\int t^5dt=\\&\\&-\frac 29·\frac{t^6}{6}+C=\\&\\&-\frac{(7-3x^3)^6}{27}+C\\&\\&\\&-------------\\&\\&\\&b) \quad \int \frac{7x}{4x^2-8}dx\\&\\&t=4x^2-8\\&\\&dt=8x\,dx\implies xdx= \frac 18 dt\\&\\&=7·\frac 18\int \frac{dt}{t}=\frac 78 ln|t| + C=\\&\\&\frac 78 ln|4x^2-8|+C\end{align}$$

Sr Valero Serrano, antes que nada muchas gracias por la información, en vdd aprecio mucho su disposición por apoyarnos, solo tengo una duda sobre la respuesta.
No comprendo muy bien estos símbolos:

como \\\&&\\&& y cuando dice dx= -fracc 19t\\&\\&= 2*\left (-\fracc 19 right)\int y hace que me confunda para determinar correctamente el procedimiento y ver el resultado.

Si ves esas cosas es porque el navegador no te está traduciendo el código LaTeX de las expresiones matemáticas para que se vean de forma natural.

Te mando de nuevo el cuadro para ver si esta vez lo ves bien. Si no prueba cambiando de navegador. Veo que eres nuevo, a lo mejor es la primera vez que recibes una respuesta con fórmulas matemáticas, si hubieras recibido antes alguna verías que se ven igual que si las hubieras escrito a mano, con todos los símbolos, a distintas alturas los exponentes, etc.

$$\begin{align}&a)\quad \int 2x^2(7-3x^3)^5dx=\\&\\&t=7-3x^3\\&dt=-9x^2\,dx\implies x^2\,dx=-\frac 19dt\\&\\&=2·\left(-\frac 19  \right)\int t^5dt=\\&\\&-\frac 29·\frac{t^6}{6}+C=\\&\\&-\frac{(7-3x^3)^6}{27}+C\\&\\&\\&-------------\\&\\&\\&b) \quad \int \frac{7x}{4x^2-8}dx\\&\\&t=4x^2-8\\&\\&dt=8x\,dx\implies xdx= \frac 18 dt\\&\\&=7·\frac 18\int \frac{dt}{t}=\frac 78 ln|t| + C=\\&\\&\frac 78 ln|4x^2-8|+C\end{align}$$

Espero que ahora lo veas como si fuera la pizarra.

Muchas gracias!

Sr. Valero Serrano, le agradezco mucho su ayuda, en vdd me ayudo bastante.