Un urbanista de la ciudad determina un modelo matemático de la población P (en miles de personas), de la comunidad, en términos

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1) En el momento presente se calcula sustituyendo t=0

$$\begin{align}&P(t)=\frac{40t}{t^2+10}- \frac{50}{t+1} +70\\&\\&P(0) =\frac{40·0}{0^2+10}- \frac{50}{0+1} +70=\\&\\&0-50+70 = 20\\&\\&\text{Como son miles, son 20000 personas}\\&\\&\\&\\&2) \quad\\&\text{Dentro de 5 años se hace igual con }t=5\\&\\&P(5)=\frac{40·5}{5^2+10}- \frac{50}{5+1} +70=\\&\\&\frac{200}{35}-\frac{50}{6}+70=\\&\\&\frac{40}{7}-\frac {50}6+70=\\&\\&\frac{240-350+2940}{42}=\frac{2830}{42}\approx 67.38095\\&\\&\text{Como son miles, 67380.95 personas}\\&\\&\text{Y el redondeo  es 67381 personas.}\\&\end{align}$$

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3)

La población a largo plazo es el límite cuando x tiende a infinito de esa función.

Supongo que sabrás que tratándose de dos polinomios si el grado del denominador es mayor que el del numerador, entonces el límite es 0.

Entonces al calcular el límite tendremos que los dos cocientes tienden a 0, con lo cual el límite es 70.

Luego la población a largo plazo es 70000 personas.

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Bueno, no tengo claro que lo supieras o lo hayas entendido, voy a resolver el límite con todos los detalles:

$$\begin{align}&\lim_{t\to\infty}\left(\frac{40t}{t^2+10}- \frac{50}{t+1} +70\right) =\\&\\&\lim_{t\to\infty}\frac{40t}{t^2+10}- \lim_{t\to\infty} \frac{50}{t+1}+\lim_{t\to\infty}70=\\&\\&\text{En el 1º dividimos numerador y denominador por }t^2\\&\text{En el segungo por }t\\&\text{El 3º es una constante y ella es el límite}\\&\\&\lim_{t\to\infty}\frac{\frac{40t}{t^2}}{\frac{t^2+10}{t^2}}- \lim_{t\to\infty} \frac{\frac{50}{t}}{\frac{t+1}{t}}+\lim_{t\to\infty}70=\\&\\&\lim_{t\to\infty}\frac{\frac{40}{t}}{1+\frac{10}{t^2}}- \lim_{t\to\infty} \frac{\frac{50}{t}}{1+\frac{1}{t}}+\lim_{t\to\infty}70=\\&\\&\text{Y el límite de una constante entre }t\; ó \;t^2\; \\&\text{cuando t tiende a infinito es 0}\\&\\&=\frac{0}{1+0}-\frac{0}{1+0}+ 70=\frac{0}{1}-\frac 01+70=\\&\\&0-0+70 = 70\end{align}$$

Que por ser miles son 70000 personas.

Hola Profesor Valero, le agradezco mucho su apoyo por haber contestado mi duda, en la tercera parte si le entendí muy bien, pero tengo una duda con las primeras dos no entiendo que es lo que pasa con el denominador donde es 40/ 0^2+ 10 - 50/t+10 , porque pasa a 0, que es lo que pasa con 10 y con +1 que no se toman en cuenta en el resultado?, en esta parte me confundí, me podría ayudar por favor?, muchas gracias

Hola Profesor Valero, ya repasé las operaciones que usted hizo el favor de ayudarme a resolver incluso las practiqué y  ya encontré la respuesta a mi duda, le agradezco mucho me haya apoyado en este caso que se me dificultó tanto, con su explicación muy detallada y lo que que acabo de practicar le entendí perfectamente, me da mucho gusto poder tener contacto con un  Profesor tan comprometido por enseñar lo que sabe a los que no sabemos y tenemos el hambre de aprender, muchas gracias.

Me gustaría seguir contactándolo para futuras dudas en otros casos, es posible que lo pueda contactar directamente para que me apoye en otras actividades de esta materia?, nuevamente muchas gracias por su ayuda.

Saludos Profesor