Dudas sobre el tema Algebra de límites y continuidad
Me dejaron unos problemas que no se como desarrollar, podrían instruirme para entender el tema, gracias.
Usted como dueño de una Pyme, ha determinado que meses después de que se inicia la distribución de un nuevo producto, la cantidad de unidades (en miles), está dada por: Q(t)=6t^2+5t/(t+1)^2=
Responde a ¿Qué ocurre con la producción en el largo plazo? (Es decir, cuando tiende a infinito.)
Un urbanista de la ciudad determina un modelo matemático de la población (en miles de personas), de la comunidad, en términos (o en función), del tiempo (en años). Esta se expresa como: P(t)=40t/t^2+10-50/t+1+70
En el momento presente (cuando no ha transcurrido un solo año), ¿cuál es la población de la ciudad?
Determine la población dentro de 5 años.
¿Qué población esperaría el urbanista en el largo plazo?
1 Respuesta
Yo creo que te has dejado por poner un paréntesis. Todo numerador o numerador que sea composición de operaciones debe ir entre paréntesis, porque si no es imposible saber donde empieza el numerador o hasta donde llega el denominador.
Dime si es esto:
$$\begin{align}&Q(t) = \frac{6t^2+5t}{(t+1)^2}\end{align}$$Te anticipo que si la función es esa el límite es 6, luego 6000 personas. Pero es mejor que me lo confirmes. Porque la que es completamente incomprensible es la expresión esta
P(t)=40t/t^2+10-50/t+1+70
Tienes que poner todos los numeradores y denominadores entre paréntesis para que se pueda saber cuales son.
Tal como lo tienes escrito un ordenador que siga las reglas de prioridad interpretaría esto
$$\begin{align}&P(t)=\frac{40t}{t^2}+10-\frac{50}{t}+1+70\end{align}$$Pero yo me supongo que no quieres decir eso y la única forma de hacerte entender es poniendo los paréntesis donde se necesitan.
Es correcta su apreciación corrijo con los paréntesis
En el ejercicio 1 que me gráfico es correcto
Para el segundo ejercicio es :
P(t)=(40t) / (t^2+10)-(50) / (t+1)+70=
Muchas gracias y en verdad estoy aprovechando su tiempo y experiencia.
¿Entonces quieres decir esto?
$$\begin{align}&P(t)=\frac{40t}{t^2+10}-\frac{50}{t+1}+70\end{align}$$
Es correcto
Pues suponiendo que la función Q(t) es tal como la escribí tendremos que la producción a largo plazo es
$$\begin{align}&\lim_{t \to \infty}\frac{6t^2+5t}{(t+1)^2}=\\ &\\ &\lim_{t \to \infty}\frac{6t^2+5t}{t^2+2t+1}=\\ &\\ &\text {Con esto ya deberías saber que el límite es 6}\\ &\\ &\text{Pero si no conoces las reglas, dividimos}\\ &\text{numerador y denominador por } t^2\\ &\\ &=\lim_{t \to \infty}\frac{\frac{6t^2+5t}{t^2}}{\frac{t^2+2t+1}{t^2}}=\\ &\\ &=\lim_{t \to \infty}\frac{6+\frac{5}{t}}{1+\frac{2}{t}+\frac{1}{t^2}}=\frac{6+0}{1+0+0}=6\\ &\end{align}$$En el otro problema
1)
En el momento actual sin que haya pasado ningún año significa t=0, luego vamos a evaluar la función en t=0
$$\begin{align}&P(0)=\frac{40·0}{0^2+10}-\frac{50}{0+1}+70=\\ &\\ &0 - 50 +70 = 20\\ &\\ &\text{como son miles}\\ &\\ &P(0) = 20000\; personas\end{align}$$2)
Para la población dentro de 5 años se evalúa la función en t=5
$$\begin{align}&P(5)=\frac{40·5}{5^2+10}-\frac{50}{5+1}+70=\\ &\\ &\frac{200}{35}-\frac {50}{6}+70=\\ &\\ &\frac{40}7 - \frac{25}{3}+70=\\ &\\ &\frac{120-175+1470}{21}=\frac{1415}{21}\approx67.381\\ &\\ &\text {al ser miles}\\ &\\ &67381\; personas\end{align}$$3)
Y para el largo plazao habrá que calcular el límite
$$\begin{align}&\lim_{t\to\infty}\left(\frac{40t}{t^2+10}-\frac{50}{t+1}+70\right)=\\ &\\ &\text{En los límites en el infinito, cuando el}\\ &\text{el grado del denominador es mayor que}\\ &\text{el del numerador, el límite es 0}\\ &\\ &= 0-0 +70 = 70\\ &\\ &\\ &\text{Luego son 70000 personas}\end{align}$$Y eso es todo.
