Procedimiento para obtener la integral de la secante

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Lo he hecho en la pregunta de hace un rato.

$$\begin{align}&\int \frac{dt}{cost}=\\&\\&tg \frac t2=u\\&\\&\text{las dos fórmulas de abajo se pueden}\\&\text{deducir pero las copio de un libro}\\&\\&cost=\frac{1-u^2}{1+u^2}\\&\\&dt = \frac {2du}{1+u^2}\\&\\&=\int \frac{1+u^2}{1-u^2}·\frac {2du}{1+u^2}=\int \frac{2du}{1-u^2}=\\&\\&\int \frac{2du}{(1+u)(1-u)}=\int \frac{du}{1+u}+\int \frac{du}{1-u} =\\&\\&ln|1+u| - ln|1-u| =\\&\\&ln\left|1+tg \frac t2\right|-ln\left|1-tg \frac t2\right|=\\&\\&ln\left|\frac{1+tg \frac t2}{1-tg \frac t2}  \right|=ln \left|\frac{\left(1+tg \frac t2\right)^2}{1-tg^2 \frac t2}\right|=\\&\\&ln\left|\frac{\frac{(\cos \frac t2+sen \frac t2)^2}{\cos^2 \frac t2}}{\frac{\cos^2 \frac t2-sen^2 \frac t2}{\cos^2 \frac t2}}  \right|=ln\left|\frac{1+2cos \frac t2sen \frac t2}{cost}\right|=\\&\\&ln\left|\frac{1+sent}{cost}  \right|=ln\left|sec\,t+tg\,t  \right|\\&\\&\end{align}$$

Tal vez haya corrido mucho en algún paso pero es que el editor de ecuaciones es mortal y si escribes mucho no funciona apenas.  Por eso las integrales que son un poco largas no da gusto hacerlas.

¡Gracias! 

Genial!!

;) Por fin un método más simple:

con sustitución y descomposición en fracciones simples:

$$\begin{align}&senx=t\\&cosxdx=dt\\&\\&\int secxdx= \int \frac 1 {cosx}dx=\int \frac{cosx}{\cos^2x}dx=\int \frac{cosx dx}{1-sen^2x}=\\&\\&\int \frac {dt}{1-t^2}=\int \frac{dt}{(1+t)(1-t)}=\\&\\&\frac 1 2 \int \frac{dt}{1+t}+ \frac 1 2 \int \frac {dt}{1-t}= \frac 1 2 ln |1+t|- \frac 1 2 ln |1-t|=\\&\\&\frac 1 2  ln \Bigg | \frac{1+senx}{1-senx} \Bigg|= ln \sqrt{ \frac{1+senx}{1-senx}·\frac {1+senx}{1-senx}}=\\&\\&ln \sqrt{\frac{(1+senx)^2}{1-sen^2x}}=ln \Bigg| \frac{1+senx}{cosx}\Bigg|=ln|secx+tgx|+C\end{align}$$

;)

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