Obtención de funciones a partir de marginales
Su empresa adquirió una maquinaria que fabrica cierto producto. La venta del mismo genera un cierto ingreso, que conforme pasa el tiempo, su comportamiento es el siguiente:
$$\begin{align}&I(t)=5.88-〖0.05t〗^2\\&\end{align}$$Donde está en años y el ingreso en millones de pesos. Conforme pasa el tiempo, el costo de mantenimiento de dicha maquinaria se va incrementando de acuerdo a la siguiente expresión:
$$\begin{align}&C(t)=0.2+0.2t^2\\&\end{align}$$- Determina el tiempo que le conviene tener en operación la maquinaria. (Sugerencia: Iguale ambas funciones y encuentre el valor de . Redondee a dos decimales)
- Determina la utilidad acumulada desde el momento de la compra de la maquinaria, hasta el momento determinado en el inciso anterior. (Sugerencia: Integre la resta de ingreso y costo con los límites de cero hasta el valor determinado en el inciso anterior.)
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Pues como nos indican lo que hay que hacer, simplemente lo haremos.
$$\begin{align}&5.88 - 0.05t^2 = 0.2 + 0.2t^2\\&\\&5.88 - 0.2 = 0.2t^2 + 0.05t^2\\&\\&5.68 = 0.25t^2\\&\\&t^2 = \frac{5.68}{0.25} = 22.72\\&\\&t = \sqrt{22.72} = 4.77 años\\&\\&\text{Luego le conviene tenerla 4.77 años}\\&\\&\text{Y ahora haremos la integral de la }\\&\text{utilidad desde 0 hasta 4.77}\\&\\&U(t) = I(t) - C(t) = \\&\\&5.88 - 0.05t^2 - (0.2 + 0.2t^2) =\\&\\&5.68 - 0.25t^2\\&\\&\\&\int_0^{4.77}(5.68-0.25t^2)dt =\\&\\&\left[5.68t -0.25·\frac{t^3}{3} \right]_0^{4.77}=\\&\\&5.68·4.77 - 0.25·\frac{4.77^3}{3}-0+0=\\&\\&27.0936 -9.04427775 = 18.04932225\end{align}$$Eso son millones de pesos, en pesos sería:
$18.049.322,25
Donde el punto separa los miles y la coma los decimales.
