Anónimo
Tasa de cambio y criterio de la primera derivada
Usted como fabricante de cierto producto ha determinado que el costo C de producirlo está dado por la expresión,
C(q)=0.05q^2+5q+500
Donde C está en miles de pesos y q en unidades.
Calcula el costo de producir 12 piezas.
Determina la función de costo promedio y determine su valor cuando se fabrican 12 piezas.
Determina la función de costo marginal.
Calcula la cantidad de unidades que se deben fabricar para que el costo promedio sea mínimo. Determine el valor de dicho costo promedio mínimo.
Indica si la función de costo promedio es creciente o decreciente en el rango de producción de 10 a 25 piezas
1 Respuesta
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C(q) = 0.05q^2 + 5q + 500
a) El costo de producir 12 piezas es
C(12) = 0.05 · 12^2 + 5 · 12 + 500 =
0.05 · 144 + 60 + 500 =
7.2 + 60 + 500 = 567.2
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b) El costo promedio es la función costo dividida entre p
CP(q) = 0.05q + 5 + (500/q)
Y en el costo promedio para 12 piezas en vez de emplear la función así, como ya calculamos antes el costo lo dividiremos entre 12
CP(12) = C(12) / 12 = 567.2 / 12 = 47.2666666
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c) El costo marginal es la derivada de la función costo
CMarg(q) = C'(q) = 0.1q + 5
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d) Para calcular el mínimo del costo promedio derivamos el costo promedio e igualamos a 0
CP(q) = 0.05q + 5 + (500/q)
CP'(q) = 0.05 - (500/q^2) = 0
-500/q^2 = -0.05
500/0.05 = q^2
q^2 = 10000
q=100
Luego deben fabricarse 100 unidades, y el costo promedio mínimo será
CP(100) = 0.05 · 100 + 5 + 500/100 = 5+5+5 =15
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e) La derivada del costo promedio tenía raíces -100 y 100, y lo malo es que en 0 es discontinua, pero entre 10 y 25 es continua y no tiene ninguna raíz, luego el signo es constante, vamos a calcularlo en 10 por ejemplo
CP'(10) = 0.05 - 500/10^2 = 0.05 - 500/100 = 0.05 - 5 = -4.95
Como la derivada es negativa, el costo promedio es decreciente.