Resolver planteamiento de costos y demanda
Una fábrica produce diariamente “q” toneladas de detergente en polvo. El costo de la producción depende de “q” según la función
C(q)= q3- 9q2 + 36q + 20
Donde “q” es el nivel de producción diaria. El nivel de producción actual es de q=2 toneladas
- Calcula el costo de la producción actual.
- Si la empresa aumenta su nivel de producción ¿es de esperar que el costo aumente o disminuya?
- De las dos gráficas representadas en la figura, una corresponde a la función C(q), razona cuál es.
- ¿Cuándo crece más lentamente el costo, para producciones pequeñas, medias o grandes?
- Calcula el límite cuando q tiende a infinito de C(q) e interprétalo
- En el inciso c) has podido comprobar que el costo de producir una tonelada más de detergente no es siempre el mismo o, dicho de otro modo, que no todas las toneladas tienen el mismo costo. Por ello es razonable calcular el costo medio de la producción, que es CMe(q)=C(q)/q = q3-9q2+36q + 20/q
7. Calcula el costo medio actual e interprétalo.
1 Respuesta
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1)
Como q=2 lo sustituimos en la fórmula del costo
C(q)= q^3 - 9q^2 + 36q + 20
C(2) = 8 - 36 + 72 + 20 = 64
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2)
Hay que ver si la función del costo es creciente o decreciente en q=2, para ello derivaremos la función costo
C'(q) = 3q^2 - 18q + 36
C'(2) = 12-36+36 = 12
Como la derivada es positiva la función costo es creciente, luego el costo aumentará.
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3)
Es la que va hacia arriba, ya que es la que vale 64 en el punto q=2
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4)
Eso no es tan fácil de calcular habrá que dibujar la gráfica o calcular los ceros de la derivada primera
3q^2 - 18q + 36 = 0
q^2 - 6q + 12 = 0
Bueno, ya se ve que no tiene raíces reales porque 36-48 <0
Vamos a ver cual es el vértice, que es -b/2a
v=6/24 = 1/4=0.25
En una parabola la pendiente es creciente, luego habrá menor pendiente en q=0.25 e irá aumentando cada vez más. Luego el costo crecerá más lentamente para producciones bajas
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5)
En los límites en el infinito de un polinomio el que manda es el término de mayor grado, de el depende que el límite sea +infinito o -infinito
En este caso el término de mayor grado es
q^3
Luego el límite es +infinito
El significado es que cualquier cantidad de gasto que imaginemos puede ser superada si aumentamos la producción adecuadamente.
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6) Dan información pero no preguntan nada.
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7)
Hay que dividir el costo actual entre la producción actual
Ya calaculamos en 1) que el costo actual es 64 y la producción actual es 2
Luego
CMe(2) = 64/2 = 32
Significa que la media del costo de las 2 unidades producidas hasta ahora es de 32 unidades monetarias por cada una.
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Y eso es todo.
