Considerando la función tanhx demuestre que:
Se supone que debo de poner la demostración de la siguiente expresión, pero no se como.
Considerando la función demuestre que:
tanh^(-1) x=1/2 ln[(1+x)/(1-x)]
1 respuesta
·
En la expresión de la función
y=f(x)
hay que despejar la x como función de y
x=f^-1(y)
Después se cambian las y por x para que sea función de x pero lo fundamental es despejar x
$$\begin{align}&y=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\\&\\&(e^x+e^{-x})y = e^x-e^{-x}\\&\\&e^xy+e^{-x}y = e^x-e^{-x}\\&\\&e^xy-e^x=-e^{-x}y-e^{-x}\\&\\&e^x(y-1) = -e^{-x}(y+1)\\&\\&\frac{e^x}{e^{-x}}=-\frac{y+1}{y-1} \\&\\&e^{2x}= \frac{1+y}{1-y}\\&\\&2x = ln \left(\frac{1+y}{1-y} \right)\\&\\&x = \frac 12 n \left(\frac{1+y}{1-y} \right)\\&\\&\text{Luego como:}\\&\\&x=f^{-1}(y)=th^{-1}(y)\\&\\&th^{-1}(y)=\frac 12 n \left(\frac{1+y}{1-y} \right)\\&\\&\text{Y para respetar la x como variable independiente}\\&\text{vamos a expresarlo todo como función de x}\\&\\&th^{-1}(x)=\frac 12 ln \left(\frac{1+x}{1-x} \right)\\&\end{align}$$Y eso es todo.
Disculpe, podría decirme ¿qué enunciados o teoremas se aplican a esta ecuación y por que?
Me he comido alguna l en ln
$$\begin{align}&y=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\\&\\&(e^x+e^{-x})y = e^x-e^{-x}\\&\\&e^xy+e^{-x}y = e^x-e^{-x}\\&\\&e^xy-e^x=-e^{-x}y-e^{-x}\\&\\&e^x(y-1) = -e^{-x}(y+1)\\&\\&\frac{e^x}{e^{-x}}=-\frac{y+1}{y-1} \\&\\&e^{2x}= \frac{1+y}{1-y}\\&\\&2x = ln \left(\frac{1+y}{1-y} \right)\\&\\&x = \frac 12 ln \left(\frac{1+y}{1-y} \right)\\&\\&\text{Luego como:}\\&\\&x=f^{-1}(y)=th^{-1}(y)\\&\\&th^{-1}(y)=\frac 12 ln \left(\frac{1+y}{1-y} \right)\\&\\&\text{Y para respetar la x como variable independiente}\\&\text{vamos a expresarlo todo como función de x}\\&\\&th^{-1}(x)=\frac 12 ln \left(\frac{1+x}{1-x} \right)\\&\end{align}$$Nome pidas eso que es algo tan feo como pedir la bibliografia. Uno sabe las cosas porque las estudió y se acuerda de como se hacían, pero los teoremas involucrados son efímeros, se borran de la memoria. Esos teoremas los tendrás en el libro, además no en todos los lugares del mundo se estudian los mismos. En la resolución se han usado métodos habituales para resolver ecuaciones y propiedades de las funciones exponenciales, logarítmicas e hipérbolicas, no hay nada especial. Luego, el método de calcular la inversa es difícil explicar por qué es así, pero es así.
