Mediante la derivación logarítmica de una función

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No es correcto el enunciado, con derivación logarítmica no nos referimos a la derivada de una función logarítmica, sino a una técnica de derivación que sirve para calcular derivadas de funciones elevadas a otras funciones como por ejemplo x^x, x^senx, tec.

Luego lo que tenemos aquí es la derivada de una función logarítmica y se deriva sin usar derivación logarítmica, por procedimientos normales.

Pero si te pones a derivarla tal cual está no se si te va a salir, lo que hay que hacer es usar las propiedades de los logaritmos para dejar una función mucho más sencilla de derivar.

$$\begin{align}&f(x) =3ln\left[\frac{2(5x^2-4)^2}{\sqrt[3]{1-x^3}}   \right] \\&\\&\text{resolverla así es muerte segura}\\&\\&f(x) = 3\left(ln[2(5x^2-4)^2] - ln(\sqrt[3]{1-x^3})\right)=\\&\\&3\left(ln2 +2ln(5x^2-4) -\frac 13ln(1-x^3)\right)=\\&\\&3ln2+6ln(5x^2-4)-ln(1-x^3)\\&\\&f'(x) =\frac{6·10x}{5x^2-4}-\frac{-3x^2}{1-x^3}=\\&\\&\frac{60x}{5x^2-4}+\frac{3x^2}{1-x^3}\\&\\&\text{yo entiendo que con esto ya está bien simplificada}\\&\text{otra forma sería}\\&\\&f'(x)=\frac{60x(1-x^3)+3x^2(5x^2-4)}{(5x^2-4)(1-x^3)}=\\&\\&\frac{60x-60x^4+15x^4-1x^2}{5x^2-5x^5-4+4x^3}=\\&\\&\frac{-45x^4-12x^2+60x}{-5x^5+4x^3+5x^2-4}\\&\\&\text {o para los que no quieren coeficientes directores negativos}\\&\\&f'(x)=\frac{45x^4+12x^2-60x}{5x^5-4x^3-5x^2+4}\\&\\&\text{o para los que no renuncian a un último factor común}\\&\\&f'(x)=\frac{3x(15x^3+4x-20)}{5x^5-4x^3-5x^2+4}\end{align}$$

En fin, la forma final  de presentarlo es lo de menos, lo importante ha sido simplificar la función inicial con las propiedades de los logaritmos, si no ya te decía.

En memoria del hermano Juanjo y esas integrales del arco tangente de una raíz cuadrada con cocientes de cosenos que eran la tangente del ángulo doble y se resolvía inmediatamente si sabías simplificar antes. Pero es que aun no habíamos dado esa parte de la trigonometría. JaJa!

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Y eso es todo.