Como realizo estas operaciones para calcular el volumen

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La funcióna integrar es f(x,y) = x^2+4y^2

Es siempre positiva, luego no hay problemas de tener que dividir el dominio en varias partes para calcular el área.

El dominio es el interior de la elipse x^2+4y^2=4

Vemos que x puede tomar valores entre -2 y 2

Mientras que los límites de y dependerán de x y son

- sqrt(4-x^2)/2  y sqrt(4-x^2)/2

$$\begin{align}&V= \int_{-2}^2\int_{-\sqrt{4-x^2}/2}^{\sqrt{4-x^2}/2}(x^2+4y^2)dydx=\\&\\&\int_{-2}^2\left[x^2y+\frac{4y^3}{3}  \right]_{-\sqrt{4-x^2}/2}^{\sqrt{4-x^2}/2}dx=\\&\\&\int_{-2}^2\left(\frac{x^2 \sqrt{4-x^2}}{2}+\frac{4 \sqrt{(4-x^2)^3}}{3·8}+ \frac{x^2 \sqrt{4-x^2}}{2}+\frac{4 \sqrt{(4-x^2)^3}}{3·8} \right)dx=\\&\\&\int_{-2}^2\left(x^2 \sqrt{4-x^2}+\frac{\sqrt{(4-x^2)^3}}{3}\right)dx=\\&\\&\int_{-2}^2 \left(x^2+\frac 43-\frac{x^2}{3}  \right)\sqrt{4-x^2}\;dx=\\&\\&\frac 23\int_{-2}^2(x^2+2)\sqrt{4-x^2}\;dx=\\&\\&x=2sent\\&dx=2cost\\&x=-2\implies t=arcsen(-1)=-\frac \pi2\\&x=2\implies t=arcsen1 = \frac \pi 2\\&\\&=\frac 23\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(4sen^2t+2)\sqrt{4-4sen^2t}·2cost\;dt=\\&\\&=\frac 83\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (4sen^2t+2)\cos^2t\;dt=\\&\\&\frac 83\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(sen^2(2t)+2\left( \frac{1+\cos 2t}{2} \right)\right)dt=\\&\\&\frac 83\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(\frac 12 -\frac{\cos 4t}{2}+1+\cos 2t\right)dt=\\&\\&\frac 83\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(\frac 32-\frac{cos4t}{2}+\cos 2t  \right)dt=\\&\\&\frac 83\left[\frac{3t}2-\frac{sen \,4t}{8}+\frac{sen 2t}{2}  \right]_{-\pi/2}^{\pi/2}=\\&\\&\frac 83\left(\frac{3\pi}{4}-0+0+\frac{3\pi}{4}+0-0  \right)=4\pi\\&\end{align}$$

Y eso es todo.

¡Gracias!  excelente respuesta gracias me a servido bastante

Cual es la fórmula de la integral para llegar al resultado final por lo que entiendo se utiliza una fórmula pero no la puedo definir