Demostrar que la siguiente ecuación tiene dos raíces reales

Puedes usar el teorema de bolzano que dice:

Si f (a) y f (b) son de signos contrarios (uno positivo y otro negativo) entonces hay una raíz en el intervalo [a,b].

Ahora considera la función 

F (x)=x^(x-sqrt (x))-x-sqrt (x) 

Y evalúa 2 valores por ejemplo

F (0) y f (1) que tienen distinto signo y eso quiere decir que hay una raíz en el intervalo [0,1] y así puedes probar la existencia de raíces en un intervalo.

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Me extrañaba a mi que una ecuación tan complicada pudiera tener una respuesta algebraica como un vulgar polinomio. He probado la respuesta que dices y ni de lejos es respuesta de la ecuación.

Tomaremos la función

$$\begin{align}&f (x)=x^{x-\sqrt x}-x-\sqrt x \end{align}$$

Y calcularemos sus raíces a través de a página Wolfram Alpha:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x^%28x-sqrt%28x%29%29-x-sqrt%28x%29%3D0

las soluciones son:

x=0.478486

x=3.16634

Mientras que la respuesta que dices es:

$$\begin{align}&\frac{3+\sqrt{5}}{2}\approx 2.618033989\end{align}$$

que como ves está muy lejos de cualquiera de las dos.

El comprobar que hay una raíz menor que otra se hace por el teorema de Bolzano viendo que hay dos valores menores que esa raíz donde el signo de la función f(x) es distinto, eso es así porque la función es continua por ser sumas restas y potencias de funciones continuas.

El dominio de la función es (0, + infinito) porque la raíz cuadrada de x necesita que x sea no negativo. Y el punto 0 no entra en el dominio porque 0^0 no está definido. Cualquier otro número elevado a la 0 si esta definido ya que la definición es una convención para que se cumpla

$$\begin{align}&1=\frac{a^n}{a^n}=a^n·a^{-n}=a^{n-n}=a^0\\&\\&\text{pero es que esto con el 0 sería}\\&\\&\frac{0^n}{0^n}=\frac{0}{0}= 0·\frac 10\\&\\&\text{Y el 0 no tiene inverso}\end{align}$$

No obstante aunque no tenga valor si que hay un límite por la derecha que viene dado por los valores de la función en x infinitamente cerca del 0, y en todos ellos la función vale 1, luego el límite 0^0 es 1,

$$\begin{align}&\lim_{x\to 0^+}(x^{x-\sqrt x}-x-\sqrt x) = 1-0-0=1\end{align}$$

por lo tanto habrá algún punto x suficientemente cerca de 0 donde la función sea positiva.

Y en x= 1 el valor de la función es

1^0-1-1 = -1

Negativo.

Y por lo dicho antes de ser continua se cumple el teorema de Bolzano y hay algún punto en el intervalo (0,1] donde la función vale 0.

Buen día.

Hubo un error en mi pregunta inicial, lo correcto es

$$\begin{align}&x^{x-\sqrt{x}}=\sqrt{x}+1\end{align}$$

Y mi pregunta era, ¿cómo demostrar que la otra raíz no es un número algebraico? 

¡Bueno Math!

Pues lo que puedes hacer es valorar como excelente el trabajo que se ha hecho, porque se ha trabajado, y cuando se trabaja en un problema con enunciado erróneo se trabaja incluso más porque uno piensa que está equivocado y el equivocadao no es él. Y después mandar el enunciado correcto en otro pregunta nueva. Puedes cambiar la valoración si quieres.

¡Gracias! 

De todas formas gracias, mi intención no era molestar. Lo de Bolzano era obvio aplicar pero ya viste que cambié la pregunta. Nadie es perfecto, en particular yo, por eso se me fue la x.

Saludos

No se por qué eso me suena a menospreciar la respuesta. Yo de antemano no puedo saber si para ti lo de Bolzano es obvio o no es obvio, para mucha gente no lo es. Aquí se te ha añadido que 0^0 no está definido tal como quien piensa que es 1 o como quien piensa que es 0, sin embargo se te ha demostrado que pese a no estar definido el límite es 1. Si tu crees que no se ha hecho nada esa es tu opinión. Pero no voy a trabajar más si no se reconoce el trabajo con puntuación excelente y se manda una nueva prugunta a TodoExpertos para obtener nuevos puntos si consigo responderla.

Buen día.

Yo desconozco la política de esta página, en todo caso volveré hacer la pregunta.

Ya que mencionas 0^0, vi en un libro, que trataba sobre conjuntos, que convenía que en ese caso valdría 1. Una vez discutí esto en otra página y llegamos a la conclusión que dependía del contexto (claro que aquella discusión no es relevante) veré si puedo conseguir el libro, si te interesa...o ¿estás seguro que 0^0 no está definido en lo absoluto? Aunque mi tendencia es a pensar que no está definido, como dije arriba, depende del contexto.

Bien, mil disculpas por subestimar tu trabajo, tarde me doy cuenta que he sido grosero.

Saludos.

Es que tu pregunta inicial era demostrar que había una raíz entre 0 y la que algebraica que dices. Entonces yo pienso que está bien respondida. No estoy seguro si esta definido 0^0 pero lo que no puede es estar definido de la mismo forma que se define cualquier otro número elevado a la 0, como a^n·a^(-n), ya que eso sería la operación 0/0 que no está definida. Si está definido a lo mejor lo será para que se cumpla la continuidad de la función x^x.

La pregunta que haces ahora ya es de un nivel superior, puede que estés estudiando teoría de números, porque incluso en Analisis Numérico, donde se resuelven ecuaciones por métodos numéricos, no les interesa saber si la la solución es algebraíca o no algebraíca. Además que no sé si eres estudiante o particular, nunca está mal dar los detalles de los estudios que se hacen para que el que contesta sepa en que nivel se tiene que poner, las formas de responder pueden depender de ello.

Ahora me pongo con la pregunta que he visto en el tablón. Yo no estudié teoría de números, pero creo que sé como resolverlo o al menos darte una idea de como se hace y luego tú le das el rigor que necesites.

¡Gracias! 

Buen día.

Yo estuve estudiando matemática pura, pero tuve que dejarlo al año (por razones de salud), y lo que sé ahora es lo que estudié por mi cuenta, no sé mucha matemática, lo que sé es algo de álgebra lineal (sólo hasta Eigenvalues & Eingenvectors) y análisis matemático (sólo hasta EDO, claro, pasando por las integrales múltiples).

En este ejercicio no deseo la respuesta numérica, para eso tendría que aplicar el método de Newton (es lo único que sé). Pero la pregunta solo resulta de la mera curiosidad. 

Ahora estoy interesado en todo lo que tenga que ver con vibración de cuerdas, membranas, etc. Y para esto yo necesito aprender "por lo menos" las EDP, topología, física, etc (y no sé que más).

En fin, ya no quiero cansarle, y muchísimas gracias por su atención, realmente hace usted una gran labor.

¿Qué quieres que te diga?

·

La respuesta no es fácil, ¿de verdad has visto este ejercicio en algún libro? Si es así dime en cual para ver si lo puedo conseguir, a mi me falta teoría para poder resolverlo. He llegado por una parte a que

x-sqrt(x)

Debe ser racional para no contradecir un teorema que dice que si a es algebraico distinto de 0 y 1, y b es irracional entonces a^b no es algebraico.

Por otro lado he llegado a que si llamamos

r = x-sqrt(x)

entonces r <=1 ya que si no

$$\begin{align}&r=x -\sqrt x\\&x=\sqrt x +r\\&(\sqrt x+r)^r = \sqrt x+1\\&pero \;si\; r>1\\&(\sqrt x+r)^r>\sqrt x+r>\sqrt x+1\\&\text{y no puede darse la igualdad}\\&\text {si x=1 tenemos el caso}\\&x^1= \sqrt x +1\\&x-1=\sqrt x\\&x^2-2x+1=x\\&x^2-3x+1= 0\\&\\&x=\frac{3\pm \sqrt 5}{2}\\&\\&\text{la una ya la conocemos.}\\&\text{Y la otra no sirve porque}\\&\\&x=\frac{3-\sqrt 5}{2}\approx 0.381966\\&\text{no cumple }x=\sqrt x+1\\&0.381966 \neq \sqrt{0.381966}+1\\&\\&\text{Entonces otra respuesta sera con }r<1\\&\text{pero de ahí a demostrar que no será }\\&\text{algebraica hay un abismo para mi.}\\&\end{align}$$