EXplicacion de un problema de estadistica y probabilidad

Primero ordenemos los datos para ver que información tenemos. Nos dicen que una caja contiene 40 tornillos de los cuales sabemos que 35 son buenos y 5 defectuosos. Luego, la probabilidad que sean buenos es 35/40 = 0,875 = p

Podemos la probabilidad de encontrar 1 tornillo defectuoso en una caja cumple una distribución binomial y lo que nos piden (menos de 3 defectos) sería equivalente a pedir que hay al menos 6 tornillos buenos). Esto es: p(0)+p(1)+...+p(6) o, dicho de otro modo, 1-p(7)-p(8)

$$\begin{align}&p(x \ge 6) = 1-(p(7)+p(8)) = 1- \Bigg({8 \choose 7}0,875^7(1-0,875)^{8-7} + {8 \choose 8}0,875^8(1-0,875)^{8-8} \Bigg) = \\&1- \Bigg({8! \over 7!(8-7)!}0,875^70,125^{1}+{8! \over 8!(8-8)!}0,875^80,125^{0}\Bigg) = 0,2637\end{align}$$

Pero el valor anterior es solo para un envío. Como no aclara nada acerca de la cantidad total de tornillos defectuosos que tenía, podemos considerar que es una cantidad lo suficientemente grande para considerar las muestras independientes (si el tamaño de la muestra fuese "pequeño" esto no lo podemos afirmar, ya que cada tornillo defectuoso de 1 caja, mejora considerablemente la posibilidad que sea bueno en la caja siguiente).

Con la salvedad anterior, la probabilidad que las cuatro cajas sean aceptadas podemos asumirlas como muestras independientes y cada una con probabilidad 0,2637, luego:

p(4 cajas aceptadas) = 0,2637^4 = 0,0048

O sea la probabilidad que cambio de proveedor es 1-p(4 aceptadas) = 1-0,0048 = 0,9952