Probabilidad media muestral

a) El error estándar de la media es sigma / sqrt(n)

$$\sigma_{\overline{x}}= \frac{\sigma}{\sqrt n}=\frac{200}{\sqrt {25}}=$40$$

b) La media de una muestra de una distribución normal es otra distribución normal con la misma media y con desviación la desviación entre raíz de n

$$\begin{align}&X \sim N(\mu,\sigma) \implies \overline{X}\sim N\left(\mu,\frac{\sigma}{\sqrt n}  \right)\\ &\\ &\\ &X \sim N(3400,200) \implies\\ &\\ &\overline{X}\sim N\left(3400,\frac{200}{\sqrt {25}}\right)=N(3400,40)\\ &\\ &\\ &Sea \; Z = \frac{\overline{X}-3400}{40} \sim N(0,1)\\ &\\ &\\ &P(\overline{X}\ge 3500)=P\left(Z\ge \frac{3500-3400}{40}\right)=\\ &\\ &\\ &P(Z\ge 2.5)= 1-P(Z\le 2.5) =\\ &\\ &\\ &1-tabla(2.5) = 1-0.9938 = 0.0062\end{align}$$

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté entre $3350 y $3450?

$$\begin{align}&P(3350\le \overline{X} \ge 3450) =\\ &\\ &P\left( \frac{3350-3400}{40} \le Z \le \frac{3450-3400}{40}\right)=\\ &\\ &\\ &P(-1.25 \le Z \le 1.25)= P(Z\le 1.25)-P(Z\le -1.25) =\\ &\\ &\\ &P(Z\le 1.25) -[1-P(Z\le 1.25)]= 2P(Z\le 1.25)-1=\\ &\\ &2·tabla(1.25)-1= 2·0.8944-1 = 0.7888\end{align}$$

d) Las cuentas serán las mismas pero con n= 100 en vez de 25. Asi tendemos que:

En a) será 200/sqrt(100) = 200 / 10 = $20

Y en los apartados b y c en vez de ser $40 la desviación será $20 con esa sustitución llegaremos a estos resultados

En b) P=1 - tabla(5) =
Habrá que hacerlo con Excel ya que 5 no sale en las tablas
=1 - 0.99999971 = 0.00000029

En c) se llega a P = 2tabla(2.5)-1 = 2·0.9938 - 1 = 0.9876

Y eso es todo.