Hallar el área acotada por las gráficas y^2=1-x, 2y=x+2

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Hagamos la gráfica.

Vemos que si queremos integrar respecto de x, que es la tendencia natural, tendremos que hacer dos integrales una para cada región que he coloreado distinto. Mientras que si integramos respecto de y solo hace falta una integral. Luego pondremos las curvas en la forma x=f(y)

x=1-y^2 esta es la superior mirando de izquierda a derecha

x=2y-2

Aunque la gráfica nos lo dice vamos a calcular las coordenadas y de los puntos de corte.

2y - 2 = 1 - y^2

y^2 + 2y - 3 = 0

Y esto lo resuelves como mejor sepas hacerlo, yo por ejemplo he visto a ojo que el 1 la cumple y después la otra tiene que ser -3 para que el producto de las raíces sea -3

Luego los puntos son y=-3, y=1

Y el área será

$$\begin{align}&A=\int_{-3}^1\left(1-y^2-(2y-2)\right)dy=\\&\\&\int_{-3}^1(-y^2-2y+3)dy=\\&\\&\text{no creas que dan gusto tantos negativos}\\&\text{invertimos los límites de integración}\\&\\&=\int_{1}^{-3}(y^2+2y-3)dy\\&\\&\left[\frac{y^3}{3}+y^2-3y  \right]_1^{-3}=\\&\\&-9+9+9-\frac 13-1+3=11-\frac 13=\frac{32}{3}\end{align}$$

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Y eso es todo.

Lo primero que hay que hacer es ver en que puntos se "cortan" las curvas. Para esto vamos a despejar la misma variable en ambas ecuaciones e igualarlas. Por como vienen dadas, lo mejor es despejar x en ambas expresiones teniendo

$$\begin{align}&y^2=1-x \Rightarrow x = 1-y^2\\&2y=x+2 \Rightarrow x = 2y-2\\&1-y^2=2y-2\\&0 = y^2+2y-3\\&Resolviendo\ la\ cuadrática\ tenemos:\\&y_1=1 \land y_2 = -3\\&Luego\\&\int_{-3}^{1}(1-y^2)-(2y-2) dy = \int_{-3}^{1}(1-y^2-2y+2) dy = \\&\int_{-3}^{1}(3-y^2-2y) dy = 3y-{y^3 \over 3}-y^2 \Bigg|_{-3}^{1}=\\&(3(1)-{1^3 \over 3}-1^2)-(3(-3)-{(-3)^3 \over 3}-(-3)^2)=\\&3-{1 \over 3}-1+9-9-9=-{22 \over 3}\\&\end{align}$$

El signo negativo indica que las funciones están al revés para restarlas, pero el valor está correcto (22/3).

Te dejo la imagen