Determinar el área de la región que se halla entre la curva y=x^3-6x^2+8x y el eje x

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Vamos a hacer el ejercicio sin gráfica si es posible. Ya sabes cómo es un polinomio de grado 3, empieza en -infinito y acaba en infinito.

Si es de la forma

y = ax³ + d

Es siempre creciente, y si no es de esa forma, tiene una bajada antes de la subida final.

Este tendrá esa bajada. Veamos los puntos de corte con el eje X.

x³-6x²+8x=0

x(x²-6x+8) = 0

una raíz está en x=0

x² - 6x + 8 = 0

la factorización a simple vista es

(x-2)(x-4) = 0

Luego las otras 2 raíces son 2 y 4

Puestas en orden tenemos estas tres raíces {0,2,4}

Entre 0 y 2 la función está por encima del eje X y entre 2 y 4 por debajo. Por tanto el aŕea comprendida será la función menos la función 0 entre 0 y 2, y 0 menos la función entre 2 y 4

$$\begin{align}&A=\int_0^2(x^3-6x^2+8x)dx+\int_2^4 -(x^3-6x^2+8x)dx=\\&\\&\left[ \frac{x^4}{4}-2x^3+4x^2 \right]_0^2+ \left[ -\frac{x^4}{4}+2x^3-4x^2 \right]_2^4=\\&\\&(4-16+16) + (-64+128-64+4-16+16)=\\&\\&4+4 = 8\end{align}$$

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Y eso es todo.

¡Gracias!