Como puedo resolver este problema con definicion de limites
tengo 0<|x+2|<d entonces |x^2-4|<1
Como puedo obtener el valor de delta... ¿seria negativo ya que x= -2 o no?
1 Respuesta
Di Stefano!
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Me parece que lo que quieres calcular no tiene que ver con lo que hay que hacer para la demostración de límite por definición.
Si quieres demostrar que
$$\begin{align}&\lim_{x\to -2} x^2=4 \iff\\&\\&\forall \epsilon \gt 0\;\exists \delta\gt 0\text{ tal que si }0\lt|x+2|\lt\delta\rightarrow |x^2-4|\lt\epsilon\\&\\&\\&|x^2-4|=|(x+2)(x-2)|=|x+2|·|x-2|\\&\\&\text{tomamos una primera acotación }\delta=1\\&\\&0\lt|x+2| \lt1\\&-1\lt x+2 \lt 1\\&-3\lt x\lt-1\\&\\&\text{Para estos valores de x tendremos}\\&-5\lt x-2\lt-3\lt5\\&-5\lt x-2\lt 5\\&|x-2|\lt5\\&\\&\text{luego de la acotación }\delta=1\text{ se deduce}\\&\\&|x^2-4|=|x+2|·|x-2|\lt1·5 \lt5\\&\\&\text{Y si }\delta \gt 1\text{ se deduce}\\&\\&|x^2-4|\lt \delta·5=5\delta\\&\\&\text{si queremos que eso sea }\le\epsilon\\&\\&5\delta\le \epsilon\implies \delta\le \frac{\epsilon}{5}\\&\\&\text{Luego si tomamos }\\&\\&\delta=min \bigg\{1, \;\frac {\epsilon}{5} \bigg\}\\&\\&\text{se cumplirá } |x^2-4|\lt \epsilon\\&\\&\text{y por lo tanto}\\&\\&\lim_{x\to-2}x^2=4\\&\end{align}$$
porque aparece el 5 en −5< x−2 <−3 < 5 no puedo solo usar el -3 o no puedo trabajar con ese valor negativo solo esa parte aclarame porfavor
Consiste en que tienes que obtener una cota para |x-2|
Si tomas un delta que no sea mayor que 1 has llegado a
-5 < x-2 < -3
Pero un valor absoluto se acota acotando su interior entre un número negativo y el mismo número positivo, por ello añado el 5 a la derecha
-5 <x-2 < - 3 < 5
-5 < x-2 < 5
y esto significa
|x-2|<5
Que es a lo que necesitabamos llegar, y esa es la mejor cota a la que podemos deducir tomando un delta no mayor que 1. Si queremos una cota mas ajustada habría que tomar un delta preliminar menor que 1. Este delta preliminar da la mismo cual sea, a no ser que por tomarlo más grande de lo necesario el entorno del punto llegue a un punto donde la función se haga infinito. El limite seguirá siendo el mismo tanto si tienes que tomar delta=epsilon como si tienes que tomar
delta =epsilon / 1000000000000000000000000000000·10^(400000)
Si por ejemplo con otra función hubieramos llegado a
-3 < x-2 < 4
la acotación a usar sería
-4 <-3 < x-2 < 4
|x-2|< 4
