Limites aplicando la definición, en los intervalos indicados.
Probar los siguientes limites aplicando la definición, en los intervalos indicados:
$$\begin{align}&a) \lim_{x \to 4} (x^2-x+5)=17 \ si \ x \in [2;6] \\&\\&b) \lim_{x \to 3} (x^3-3x^2+4x)=12 \ si \ x \in (1;5)\end{align}$$Las respuestas son:
$$\begin{align}&a) \ \delta= \frac{\varepsilon}{9}\\&\\&b) \ \delta= \frac{\varepsilon}{29}\end{align}$$Quisiera saber como tengo que hacer para llegar al resultado teniendo esos intervalos ya que no se como encarar este tipo de problemas.
2 Respuestas
Recordemos la definición de límite:
$$\begin{align}&\forall \epsilon \ \exists \delta \ t.q. 0<|x-4|<\delta \rightarrow |x^2-x+5-17|<\epsilon \\&Ahora\ concentrémonos\ en\ la \ parte\ derecha:\\&|x^2-x-12|<\epsilon\\&Factorizamos:\\&|x-4||x+3|<\epsilon\\&|x-4|<\frac{\epsilon}{|x+3|}\\&Ahora\ notemos \ que\ el\ mayoe\ valor \ que\ puede\ tomar\ x \ es\ 6\ porque\ estamos\\&tomando \ las \ x \ del \ intervalo \ [2,6],\ entonces \ sustituimos\ x \ por \ 6:\\&|x-4|<\frac{\epsilon}{|6+3|}= <\frac{\epsilon}{9}\\&Que es \ a\ lo \ que\ queríamos \ llegar \ del \ lado\ izquierdo.\end{align}$$
El inciso b puedes intentarlo tú mismo siguiendo la misma idea.
¡Gracias por la respuesta! Logre hacer el inciso b:
$$\begin{align}&|x-3| < \delta\\&|x^3-3x^2+4x-12|< \varepsilon\\&Factorice:\\&|x-3| |x^2+4|<\varepsilon\\&|x-3|<\frac{\varepsilon}{x^2+4}\\&Y como\ el\ mayor\ valor\ que\ puede\ tomar\ x\ es\ 5:\\&|x-3|<\frac{\varepsilon}{5^2+4}\\&|x-3|<\frac{\varepsilon}{29}\\&\\&\end{align}$$Saludos!
Un gusto poder ayudarte y que ahora puedas aplicar la idea para resolver tus problemas.
En realidad el enunciado está mal.
En el a el delta a tomar no debe ser epsilon/9 sino
delta = min(2, epsilon/9)
Es que siempre pensamos que epsilon es muy pequeño, pero no, la definición dice para todo epsilon > 0 se cumple... es decir que si nos dan epsilon = 10000000 también existirá su delta correspondiente.
Entonces en el ejercicio a) si yo te doy epsilon = 90 y tú tomas
delta = 90/9 = 10
veamos a ver que pasa con x=13 que cumple
|x - 4| = |13-4| = 9 < delta
|f(13) - 17| = |13^2 - 13 + 5| = |161| = 161 > 90 = epsilon
Luego no ha servido el delta que dice el ejercicio el que habría que haber tomado es
delta = min(2, 90/9) = min(2,10) = 2
·
Entonces la demostración que te han hecho hay que modificarla ligeramente.
$$\begin{align}&\forall \epsilon \ \exists \delta \ t.q. 0<|x-4|<\delta \rightarrow |x^2-x+5-17|<\epsilon \\&\\&|x^2-x-12|= |x-4||x+3|<\epsilon\\&\\&\text{hacemos la acotación inicial }\delta \le2\\&\\&|x-4|\lt \delta \le 2 \implies \\&2\lt x \lt 6\implies\\&2+3 \lt x+3\lt 6+3 \implies\\&5\lt x+3 \lt 9\implies\\&5 \lt |x+3| \lt 9\implies\\&|x-4||x+3|\lt \delta·9=9\delta\\&\\&\text{hagamos por lo tanto que } 9\delta \le \epsilon\\&\text{pero no olvidemos que todo esto se basaba en que }\\&\delta \le 2\\&\text{luego debe cumplirlo también y será}\\&\\&\delta = min \left\{2, \frac{\epsilon}9 \right\}\end{align}$$·
En el ejercicio b) también tienes que modificar el delta que se basa en que x < 5 para que |x^2+4| < 29
Entonces centrando en x=3 seria el intervalo (1, 5) el que se acota, eso significa presuponer delta <=2
Luego el enunciado debería haber sido
delta = min{2, epsilon/29}
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Y eso es todo.