¿ Como resuelvo este problema de integrales ?

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Si lo intentas resolver por descomposición en fracciones simples te pegarás buena paliza. Cuando el grado del numerador es uno menos que el del denominador debes pensar automáticamente en logaritmos neperianos y ve si con ellos se resuelve parte o la totalidad de la integral

Para que arriba tengamos la derivada de lo de abajo hay que multiplicar por 2, luego habrá que dividir fuera por 2

$$\begin{align}&\int \frac {x+1}{x^2+2x+8}dx=\\&\\&\frac{1}{2}\int \frac {2x+2}{x^2+2x+8}dx\\&\\&\frac 12 ln |x^2+2x+8|+C\end{align}$$

Y eso es todo.

Si te fijas es una inmediata y es del tipo logaritmo neperiano  S 2* x+1/x^2+2x +8 y compensamos fuera 1/2*S2x+2/x^2+2x+8 dx= 1/2* ln /x^2  +2x +8 /  + C