En un estacionamiento del centro de una ciudad se paga por “hora y fracción”, lo que implica que si un auto permanece
Estacionado dos horas o menos se le cobrará $30, si después de las dos horas permanece estacionado 15 minutos o menos se le cobrarán $10 más, si despues de las dos horas permanece más de quince minutos pero no excede media hora se le cobrará $20. Éste proceso sigue así en adelante, cada quince minutos extra se le cobrarán $10 más de lo que ya lleva acumulado.
- Determine una regla de correspondencia algebraica para esta función.
- Enliste los puntos de discontinuidad (muestre que en ellos no coinciden los límites laterales), aclare de qué tipo son y argumente la necesidad de ellos.
- Grafique la función en tiempo contra costo en un dominio de 4 horas.
- Explique con todo detalle y una redacción lógica por qué el cobro por estacionamiento no podrá ser un múltiplo de $5.
- Determine virtudes y dificultades de establecer un sistema de cobro continuo (que dé lugar a una función continua)
2 respuestas
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1) La función que debe usarse no es de las más conocidas, pero existe y se llama función techo.
http://es.wikipedia.org/wiki/Funciones_de_parte_entera#Funci.C3.B3n_techo
La expresión será
$$\begin{cases} 30 & \mbox{si } x \le 120 \\Techo\left(\frac{x-120}{15}\right) & \mbox{si } x >120\end{cases}$$2)
Los puntos de discontinuidad enlistados son
{120 min, 135min, 150min, 165min, 180min, ...}
por comprensión son
{120 + 15n min | n € N U {0}}
El límite por la izquierda es 30+n, por la derecha es 30+n+1
Son puntos de discontinuidad inevitable.
Como su nombre indica, son inevitables salvo que se haga una restructuracion de preciós en otros infinitos puntos.
3)
4)
El enunciado es totalmente incorrecto, precisamente el precio siempre es un múltiplo 5.
30, 40, 50, 60, ... son todos múltiplos de 5
Y el razonamiento de que es múltiplo de 5 es que el precio es siempre
30+10n para cierto n € NU{0}
30 +10n = 5(6+2n)
Luego es siempre múltiplo de 5
5) Como virtud es que sería más justo, se pagaría de forma proporcional al tiempo que se ha estado.
La función se calcularía con menos razonamiento lógico o con cualquier calculadora
precio(x) = 30 si x <=120
30 + (2/3)(x-120) si x>120
Y como defecto que habría que hacer cobros de todas las clases posibles, dificultad o imposibilidad de dar los cambios.
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Y eso es todo.
Vamos a empezar con el gráfico (punto 3) pues nos dará una idea de todo lo que viene. Ten en cuenta que los "saltos" entre escalones en realidad no deberían graficarse, pero así es como lo interpreta el Excel.
3.
1. La regla podría ser definiendo una función que, obviamente será una función partida. Veamos...
$$\begin{cases} 30 & \mbox{si } x \le 120 \\Entero((x-120)/15+0.99)*10+30 & \mbox{si } x >120\end{cases}$$2.
2:00 - 2:15 - 2:30 - 2:45 - 3:00 - 3:15 - 3:30 - 3:45 - 4:00 - ...
4. Se puede apreciar en la función que te escribí en el punto 1, donde se ve que el mínimo es 30 y los saltos son de 10 en 10, por lo tanto no podrá ser múltiplo de 5.
5.
Virtudes: simplicidad de la función de cobro. La función anterior, para x> 120 podría ser directamente (2/3) x - 50
Que valdría lo mismo que la función anterior en cada una de las discontinuidades.
Dificultades: al tratarse de una función continúa, existirían valores muy difíciles de dar vueltos
Lo anterior es solo un ejemplo, creo que lo puedes tomar de base y ampliarlo todo lo que necesites.