¿Cuál es el polinomio que cumple estas condiciones?
Halle el polinomio mónico f(x) en R de grado 2 tal que f(A)=0. Donde A es una matriz de 2x2 con entradas reales.
1 Respuesta
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Es una pena que el edtor de ecuaciones no funcione con matrices
Sea
(A b)
(C d)
la matriz A. La matriz A^2 será:
(a b) (a b) (a^2+bc ab+bd)
A·A= (c d) x (c d) =(ac+cd bc+d^2)
Tengamos en cuenta que f(A) = A^2 + k·A + h·I
h·I solo podrá actuar sobre los elementos de la diagonal principal, luego los otros dos deben anularse ya con A^2+k·A
ab+bd + kb =0 ==> k = -a-d
ac+cd + kc =0 ==> k = -a-d
Y A^2 - (a+d)A quedará
(a^2+bc-a^2-ad 0 )
( 0 bc+d^2-ad-d^2) =
·
(bc-ad 0 )
( 0 bc-ad)
Ambos elementos son iguales, se puedan cancelar con h·I si tomamos h=(ad-bc) que si te fijas es el determinante de A
Luego el polinomio es
f(x) = x^2 - (a+d)x + ad+bc
·
Y eso es todo.
Al final cómo queda el termino de grado cero? Porque se me pide que los coeficientes sean números y no matrices pero veo que el termino constante se hace con la matriz la identidad. Y en caso de que fuera sólo un escalar no podría sumarlo a la matriz. Saludos.
$$\begin{pmatrix}a\ b\ \\c\ d\end{pmatrix}$$Por cierto aquí está el comando para matrices
es:
\begin{pmatrix}
a\ b \\
c\ d\\
\end{pmatrix}
Ya entendí, como la identidad es el "uno" entonces no se tiene que escribir. Aunque creo que al final debería ser ad-bc.
Es un polinomio actuando sobre matrices, todo lo que se sume deben ser matrices del mismo orden. El término independiente se multiplica por A^0 = matriz identidad.
