Necesito resolver la siguiente integral ∫dx/〖(a^2-x^2)〗^(3/2)
Necesito resolver la siguiente integral
$$\begin{align}&∫dx/〖(a^2-x^2)〗^(3/2) \end{align}$$Tengo como dato un triangulo, de un lado esta la letra x en otro la letra a y en la parte inferior esta la ecuación
$$\begin{align}&√(a^2+x^2 )\end{align}$$
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Luis Alberto!
·
Probaremos con un cambio trigonométrico
$$\begin{align}&\int \frac{dx}{(a^2-x^2)^{\frac 32}}=\\&\\&x=a\;sen\, t\\&dx=a\,\cos t\;dt\\&\\&\int \frac{a \cos t}{(a^2-a^2sen^2t)^{\frac 32}} dt=\\&\\&\int \frac{a \cos t }{\left[\sqrt{a^2(1-sen^2t)}\;\right]^3}dt=\\&\\&\int \frac{a \cos t }{\left[a·cost\;\right]^3}dt=\frac 1{a^2}\int \frac{dt}{\cos^2t}=\\&\\&\frac{1}{a^2}\int sec^2t \;dt= \frac{tg\,t}{a^2}+C=\\&\\&\text{del cambio se deduce }\\&\\&sent=\frac xa\implies \\&\cos t=\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}=\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}\implies\\&tg\,t=\frac{\frac{x}{a}}{\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}}=\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\\&\\&\text{y la integral medio olvidada es}\\&\\&=\frac{x}{a^2 \sqrt{a^2-x^2}}+C\end{align}$$
