¿Cual sera la longitud del túnel?
En la construcción de una carretera se encuentra una montaña de 250 metros de altura, a través de ella se contruia un túnel. La punta de la montaña se observa bajo un angulo de 98° 30' desde un punto p en un extremo de la montaña y bajo un angulo de 38° desde el otro extremo. ¿Cuál sera la longitud del túnel?
2 respuestas
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Un poco rara esa montaña, tiene una pared que sale hacia fuera, pero para las fórmulas trigonométricas no hay problema con sus signos positivos o negativos lo solucionan todo.
Cuando en un triángulo trazamos la altura se divide en dos triangulos rectángulos con la misma altura y tales que la suma de las bases (con signo) es la base del triángulo original. Cuando uno de los ángulos es mayor de 90º su base tiene signo negativo.
Dada la altura y el ángulo opuesto podemos conocer la hipotenusa asi
hipotenusa = altura / sen(alfa)
Y luego la base
base = hipotenusa · cos(alfa) = altura · [cos (alfa)/sen(alfa)] =
altura / tg(alfa)
resumiendo
base = altura / tg(alfa)
Luego en el ángulo de 98º 30' la base será
250 / tg(98º 30') = 250/(-6.691156238) = -37.36275034m
Y para 38º es
250 / tg(38º) = 250 / 0.7812856265 = 319.985408m
Con lo cual la lóngitud del tunel es
-37.36275034m + 319.985408m = 282.6226577m
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Hay una exageración de decimales, redondea a los que tengáis por costumbre tomar.
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Y eso es todo.
La montaña forma dos triangulos, en los que uno de los catetos és igual a 250 m y la suma de los otros catetos serà igual a la longitud del túnel. Para encontrar esta longitud usaremos la tangente, que és igual al cateto opuesto dividido por el contiguo:
Así, L= C1 + C2 = 250/tg (98º30') + 250/tg(38º) =250/(-6.69) + 250/0.781 = -37.37 + 320.1 =282.7 m
Aunque la tangente dé negativa, eso significa que la montaña forma un ángulo muy abierto, como un barranco.