Como podría resolver estas integrales? :)
Hola, espero que me alguien me pueda ayudar a resolver estas integrales, aun que sea solo alguna de ellas.
Muchas gracias :D
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Vale, pues yo hago las otras tres.
$$\begin{align}&\int x^2 \sqrt {1-2x^3}dx=\\&\\&t^2=1-2x^3\implies t=\sqrt{1-2x^3}\\&2t\;dt=-6x^2 dx\implies x^2dx=-\frac 13t\;dt\\&\\&=-\frac 13\int t·t\;dt=-\frac 19t^3+C=\\&\\&-\frac 19 \sqrt{(1-2x^3)^3}+C\end{align}$$$$\begin{align}&\int 5xe^{x-1}dx=\\&\\&u=5x\qquad\quad du=5\;dx\\&dv= e^{x-1}dx\quad v=e^{x-1}\\&\\&=5xe^{x-1}-5\int e^{x-1}dx=\\&\\&5xe^{x-1}-5e^{x-1}+C=\\&\\&5(x-1)e^{x-1}+ C\end{align}$$$$\begin{align}&\int \frac{\sqrt[3]x+ \sqrt x}{1+\sqrt[6]x}dx=\int \frac{\sqrt[6]{x^2}+ \sqrt[6]{ x^3}}{1+\sqrt[6]x}dx=\\&\\&t=\sqrt[6]{x}\implies x = t^6\\&dt = \frac 16 x^{-5/6}dx = \frac 16t^{-5}dx\implies \\&dx=6t^5dt\\&\\&=\int \frac{t^2+t^3}{1+t}·6t^5dt =\\&\\&6\int \frac{t^2(1+t)}{1+t}t^5dt =\\&\\&6\int t^7dt = 6·\frac{t^8}{8}+C = \frac 34 \sqrt[6]{x^8}+C=\\&\\&\frac 34 \sqrt[3]{x^4}+C\\&\\&\end{align}$$Y eso es todo.
1 respuesta más de otro experto
Respuesta de Lucas m
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Has de mandar cada una por separado, y te las resolveremos todas.
Por comodidad con el editor de ecuaciones.
Te hago la primera, y manda las otras:
La 1º la hago con un cambio de variable:
$$\begin{align}&\int \frac{x^2}{\sqrt{2-x}}dx=\\&\\&t=\sqrt{2-x} \Rightarrow dt=\frac{-1}{2 \sqrt{2-x}}dx \Rightarrow \frac{dx}{\sqrt{2-x}}=-2dt\\&\\&\\&t^2=2-x \Rightarrow x^2=(2-t^2)^2\\&\\&=\int(2-t^2)^2(-2)dt=-2 \int(4-4t^2+t^4)dt=\\&\\&=-2 \Bigg [ 4t-\frac{4t^3}{3}+\frac{t^5}{5} \Bigg ]=\\&\\&=-2 \Bigg [4 \sqrt{2-x} -\frac {4}{3}(\sqrt{2-x})^3+\frac{1}{5}(\sqrt{2-x})^5 \Bigg ]+ C\end{align}$$
Y la segunda:
$$\begin{align}&\int e^x·6^{e^x}dx=\\&\\&e^x=t\\&e^xdx=dt\\&\\&=\int 6^tdt=\frac{6^t}{ln6}=\frac{6^{e^x}}{ln6}+C\end{align}$$
Y la 3ª
$$\begin{align}&\int e^{\sqrt x}dx=\\&Cambio \ Variable\\&t=\sqrt x \Rightarrow dt=\frac{1}{2 \sqrt x}dx \Rightarrow dx=2tdt\\&\\&=\int e^t 2dt=2 \int te^t dt=\\&\\&Por \ Partes\\&t=u \Rightarrow du=dt\\&e^tdt=dv \Rightarrow v=e^t\\&\\&=2 \Bigg [te^t-\int e^tdt \Bigg]=2 \Bigg (e^{\sqrt x}· \sqrt x- e^{\sqrt x} \Bigg)+C\end{align}$$