Como podría hacer esta integral? :P

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Se hace por partes.

$$\begin{align}&\int 4x\,e^{x+2}\,dx=\\&\\&u = 4x\qquad\qquad du=4\,dx\\&dv=e^{x+2}dx\quad\;\;\; v =e^{x+2}\\&\\&=4x\,e^{x+2}-4\int e^{x+2}\,dx=\\&\\&4x\,e^{x+2}-4e^{x+2}+C =\\&\\&4(x-1)e^{x+2}+C\end{align}$$

Y eso es todo.