Mostrar que f(x) es continua en x0=0

Resolvamos el ejercicio 2:

Siempre para poder determinar si una función es continua en un punto dado xo debes verificar las siguientes tres condiciones:

$$\begin{align}&1.\ \  ¿f(x_{o}) existe?\\&2.\ \ ¿\lim_{x \to \ x_{o}}f(x) existe?\\&3.\ \ ¿f(x_{o}) =\lim_{x \to \ x_{o}}f(x) ?\end{align}$$

Entonces, si se cumplen estas tres condiciones, podemos decir que la función es continua en ese punto dado xo.

entonces:

$$\begin{align}&1.\ \ ¿f(x_{o})=f(0) existe?\\&\text{la respuesta es sì, pues sabemos que el cero es un nùmero racional, entonces si evaluamos cero en la funciòn f(x), tenemos:}\\&f(0) = 0 \ \ \text{ya que nos dice que, x   si x està en Q} \text{ por lo tanto cero es racional luego, efectivamente 0 està en Q, por lo tanto:}\\&f(0) =0\\&\\&\\&2.\ \ ¿\lim_{x \to \ x_{o}}f(x) existe?\\&\text{resolvamos el lìmite:}\\&\\&\lim_{x \to \ x_{o}}f(x)=\lim_{x \to \ 0}x=0\\&\text{por lo tanto, el limite sì existe.}\\&\\&\\&3.\ \ ¿f(x_{o}) =\lim_{x \to \ x_{o}}f(x) ?\\&\text{la respuesta es sì, pues solo nos queda checar si lo obtenido en el punto 1 es igual a lo obtenido en el punto 2, entonces:}\\&\\&f(x_{o}) =0=\lim_{x \to \ x_{o}}f(x)\\&\\&\text{por lo tanto se cumplen las tres condiciones, luego f(x) es una funciòn continua.}\end{align}$$

y listo !

El otro ejercicio ¿lo podrìas madar en otra pregunta

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Para que sea continua en x=0 el límite debe coincidir con el valor la función. Como el valor de la función en 0 es 0 ya que 0 pertenece a Q y entonces debe tener su mismo valor.

Luego lo que debemos demostrar es que lim x-->0 de f(x) = 0

Y eso es fácil pero no tanto como para darlo como inmediato.

Dado un épsilon>0 tomaremos delta=epsilon

Entonces si x es racional y  0<|x-0|<delta tendremos

|f(x)-0| = |x-0|<delta=epsilon

luego |f(x)-0| < epsilon

Y si x es irracional tendremos

|f(x)-0| = |0-0| = 0 < epsilon

luego uniendo ambas tendremos

Para todo x tal que 0<|x-0|<delta se cumple |f(x)-0|<epsilon

Y esa es la definición de que limite cuando x tiende a 0 de f(x) es 0

·

Y eso es todo.