Supóngase que lim┬(x→x0)〖f(x)=L 〗 , demostrar que existen δ > 0 y M > 0 tales que |f(X)| < M, si xε(x0-δ,x0+δ)
Alguien me puede ayudar x favor es para pasar mi materia se me hace dificil
1 respuesta
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¡Gracias! soy nueva en esto y no sabia nada de esto pero la verdad ocupo ayuda tengo mucho ejercicio y solo me faltan pocos de esas actividad .
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Por la definición de límite, para cualquier epsilon > 0 existirá un delta tal que |f(x)-L|<epsilon si 0<|x-xo|<delta
Tomemos un épsilon cualquiera, por ejemplo 1, para ese épsilon también existirá un delta tal que
|f(x) - L| < 1 si 0 <|x-xo|<delta
Ese será el delta que nos piden.
Desdoblamos en dos la desigualdad del valor absoluto
-1 < f(x) - L < 1
Sumamos L en los tres sitios
L-1 < f(x) < L+1
tomamos el máximo en valor absoluto de los extremos
M = máx {|L-1| , |L+1|}
-M <= L-1 < f(x) < L+1 <= M
luego
|f(x)| < M
Y esto sucede para todos los x del intervalo (xo-delta, xo+delta) excluido el propio xo. Entonces puede ser que |f(xo)| no cumpliese la desigualdad, tomaremos un M adecuado para que lo cumpla siempre por si acaso. Eso puede darse en funciones no continuas en xo.
M =máx{|L-1|, |L+1|, |f(xo|+1 }
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Y eso es todo.
