¿Cómo demostrar el problema de la sucesión de fibonacci?
Partiendo de las siguientes premisas:
1. Los conejos alcanzan la madurez sexual a la edad de un mes.
2. En cuanto alcanzan la madurez sexual los conejos se aparean y siempre resulta preñada la hembra.
3. El periodo de gestación de los conejos es de un mes.
4. Los conejos no mueren.
5. La hembra siempre da a luz una pareja de conejos de sexos opuestos.
6. Los conejos tienen una moral y un instinto de variedad genética muy relajados y se aparean entre parientes.
¿Cuántos conejos habrá para el n-ésimo mes?
Demuestra que la respuesta es la sucesión de fibonacci
2 Respuestas
Veamos:
$$\begin{align}&\text{basándonos en las premisas:}\\&\\&\text{1. Los conejos alcanzan la madurez sexual a la edad de un mes. }\\&\text{2. En cuanto alcanzan la madurez sexual los conejos se aparean y siempre resulta preñada la hembra.}\\&\text{3. El periodo de gestación de los conejos es de un mes.}\\&\text{4. Los conejos no mueren.}\\&\text{5. La hembra siempre da a luz una pareja de conejos de sexos opuestos.}\\&\text{6. Los conejos tienen una moral y un instinto de variedad genética muy relajados y se aparean entre parientes.}\\&\\&\text{tenemos lo siguiente:}\\&\\&\text{En el mes cero} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \text{Tenemos una pareja de conejos (pareja A), los cuales alcanzan la madurez sexual en un mes, y siempre resulta preñada la hembra } \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ tenemos: \text{1, una pareja en total}\\&\\&\text{En el mes uno} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \text{La pareja de conejos tiene un mes de edad. Luego, se aparean (pareja A). } \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ Tenemos: \text{1+0=1, una pareja en total}\\&\\&\text{En el mes dos} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \text{La pareja A da a luz a la pareja B. Se vuelve a cruzar la pareja A. (Ésto porque los conejos se cruzan entre parientes) } \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ tenemos: \text{1+1=2, dos parejas en total}\\&\\&\text{En el mes tres} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \text{La pareja A da a luz a la pareja C. La pareja B cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A y B.} \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ tenemos: \text{2+1=3, tres parejas en total}\\&\\&\text{En el mes cuatro} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \text{Las parejas A y B dan a luz a D y E. La pareja C cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A, B y C. } \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ tenemos: \text{3+2=5, cinco parejas en total}\\&\\&\text{En el mes cinco} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \text{A, B y C dan a luz a F, G y H. D y E cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D y E. } \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ tenemos: \text{5+3=8, ocho parejas en total}\\&\\&\text{En el mes seis} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \text{A, B, C, D y E dan a luz a I, J, K, L y M. F, G y H cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D, E, F, G y H. } \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ tenemos: \text{8+5=13, trece parejas en total}\\&\\&\text{Y como podemos ver, se trata de la sucesiòn de fibonacci, esto demuestra quela relación entre conejos cumple condicha ecuación.}\\&\end{align}$$y listo!
Si tienes duda, me preguntas. :D
$$\begin{align}&\text{Siguiendo con el proceso anterior podemos ver que se cumple la ecuaciòn de fibonacci, la cual es:}\\&\\&f_n = f_{n-1} + f_{n-2}\,\\&\\&\text{partiendo de dos primeros valores predeterminados:}\\&\\&f_0 = 0\ \ \ \ \ \ y\ \ \ \ \ \ \,f_1 = 1\,\\&\\&\text{entonces, de acuerdo a los resultados obtenidos que fueron:}\\&1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, .....\\&\\&\text{La respuesta es:}\\&\\&\text{Para el n-ésimo mes habrà:}\\&f_n = f_{n-1} + f_{n-2}\,\ \ \ \ conejos.\\&\end{align}$$y eso es todo :)
·
En el mes i-esimo habrá:
Conejos(i) = maduros(i) + nuevos(i)
Los maduros se aparean y en el mes i+1 habrá maduros(i) nuevos y los nuevos del mes i se hacen maduros, con ello
conejos(i+1) = maduros(i+1)+ nuevos(i+1) =
[maduros(i) + nuevos(i)] + maduros(i)
Razonando de la misma forma en el mes i+2 tendremos
conejos(i+2) = maduros(i+2) + nuevos(i+2) =
{[maduros(i) + nuevos(i)] + maduros(i)}+[maduros(i) + nuevos(i)]
Hacemos la suma de términos semejantes
conejos(i) = maduros(i)+nuevos(i)
conejos(i+1) = 2·maduros(i)+nuevos(i)
conejos(i+2) = 3·maduros(i)+2·nuevos(i)
De donde se deduce
conejos(i+2) = conejos(i)+conejos(i+1)
Por lo que el número de conejos en el mes i+2 cumple la parte de la sucesión de Fibonacci que dice que un término es la suma de los dos anteriores
La sucesión de Fibonacci es
1,1,2,3,5,8,13,21,34,...
Mientras que la de los conejos aplcando esa recurrencia a los valores iniciales es:
2,2,4,6,10,16,26,42,68, ...
Simplemente es el doble de la Fibonacci, si en lugar de considerar conejos sueltos se considera parejas de conejos tendremos que el número de parejas de conejos es la sucesión de Fibonacci.
Y eso es todo.