Sabiendo que 2 es raíz primitiva módulo 101, hallar un elemento U(101) con orden 10. U(101) el conjunto de los coprimos con 101.
Creo que tengo que utilizar que el o(g^n) = o(g)/mcd(o(g), n).
Siendo o(g) el orden de g.
1 respuesta
·
101 es un número primo, luego los coprimos con él son todos del 1 al 100
U(101) ={1,2, ..., 100}
Al ser 2 una raíz primitiva debe ser
2^100=1
y no puede haber un n anterior tal que
2^n=1 ya que entonces
2^(n+1)=2^1
2^(n+2) =2
Se vuelven a repetir los mismos valores cuando no habían salido todos y estos que no han salido no saldrán nunca, contradiciendo la hipótesis de que 2 es una raíz primitva.
Eso mismo ya se sabía aplicando el pequeño teorema de Fermat aunque no supieramos si era raíz primitiva. Pero no se si lo has estudiado y por el enunciado parece que no o no quieren que lo uses
Entonces si 2^100 = 1 tendremos que
2^100=(2^10)^10 =1
Luego 2^10 será un elemento de orden 10, ya solo falta buscar su representante en el conjunto U(101)
2^10 = 1024
le restamos 1010 que es un múltiplo de 101
1024 - 1010 = 14
Luego 14 es un elemento de orden 10.
----------
Con una buena calculadora como la de Windows 7 se puede comprobar
14^10 = 289254654976
289254654976 / 101 = 2863907475,0099009900990099009901
2863907475*101 = 289254654975
(14^10) mod 101 = 289254654976 - 289254654975 = 1
·
Y eso es todo.
¡Gracias!
Usando la ecuación o(g^n) = o(g)/mcd(o(g), n) parece que tengo que buscar n tal que ya que existe un n tal que x = 2^n. Entonces o(2^n) = 10 y o(2) = 100.
Me queda 10 = 100/ mcd(o(2), n).
mcd(100,n) = 10.
Esta ecuación se resuelve para n = 10, 30, 70, 90.
Entonces 2^n mod (101) con n siendo cualquiera de los encontrados seria solución al problema.
¿Estoy en lo correcto?
La segunda línea de aquí la había escrito mal
2^(n+1)=2^1
2^(n+2) =2^2
En mi argumento llegaba a que 2^100 cong 1 (mod 101)
Entonces también 2^200, 2^300, 2^400, 2^(100k) son congruentes con uno
Por lo que que (2^10j)^10 es congruente con 1
Luego todos los elementos 2^(10j) dan 1 al operarse 10 veces. Ahora bien, algunos de estos no son de orden 10 pueden tener orden 2 ó 5 ya que por ejemplo
(2^20)^5 cong 1 (mod 101)
Los que tendrán orden 10 son aqellos cuyo mcd con 100 sea 10
10, 30, 70, 90
Y los 110, 130, 170, 190, ... son los mismos que esos 4 ya que a los 100 se repite el mismo ciclo
Entonces las soluciones son
14 que ya lo calcule
2^30 = (2^10)^3 cong 14^3 = 2744 cong 2744 - 2727 = 17
2^70 = 2^30·2^30·2^10 cong 17·17·14 = 4046 cong 4046- 4040 = 6
2^90 = 2^70·2^10·2^10 cong 6·14·14 = 1176 con 1176 - 1111 = 65
He usado cong para denotar congruente y todas esas congruencias eran módulo 101
·
Luego los cuatro elementos de orden 10 son
{14, 17, 6, 65}
·
Y eso es todo. Por favor sube la puntuación a Excelente, te hará falta si quieres que conteste más preguntas tuyas.
