La población del planeta en 1976 análisis matemático

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Si la población crece un 2% anual al año siguiente tendremos

P1 = Po + 0,02Po = 1,02Po

Y al siguiente

P2= 1,02P1 = 1,02 · 1,02 · Po = Po(1,02)^2

y a los n años

Pn = Po(1,02)^n

Ponemos en la fórmula los datos que nos dan

10.000.000.000 = 4.000.000.000(1,02)^n

Vamos a dividir por 1000 millones en los dos sitios antes de nada y nos evitamos tanto 0

10 = 4(1,02)^n

10/4 = (1.02)^n

2,5 = (1,02)^n

tomando logaritmos neperianos

ln(2,5) = n·ln(1,02)

n = ln(2,5) / ln(1,02) = 46,27116989 años

Si quieres lo ponemos en días

46 años + 365 · 0,27116989 = 46 años y 99 días

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Dentro de 5 años la población será

P5 = 4.000.000.000 · (1,02)^5 =

4.000.000.000 · 1,104080803 =

4.416.323.213 habitantes.

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Y eso es todo.

$$\begin{align}&\text{El mo delo exponencial es el siguiente:}\\&\\&P(t)=C*e^{i*t}\\&donde:\\&\\&P(t)=\text{Población final después de t años}\\&C=\text{Población actual}\\&i=\text{tasa de crecimiento anual}\\&t=\text{Tiempo en años}\\&\\&\text{Entonces, resolvamos la primera pregunta: ¿Cuándo alcanzará la población los 10 mil millones ?}\\&\\&P(t)= 10,000,000,000\\&C=4,000,000,000\\&i=2\%=0.02\\&t= ?\\&\\&\text{Luego sustituyendo los datos, se tiene que:}\\&\\&10,000,000,000=4,000,000,000*e^{0.02*t}\\&\text{Despejemos t:}\\&\\&\frac{10,000,000,000}{4,000,000,000}=e^{0.02*t}\\&\\&2.5=e^{0.02*t}\\&\\&ln(2.5)=(0.02*t)ln(e)\\&\\&\frac{ln(2.5)}{0.02}=t\\&\\&45.8145=t\\&\\&\text{Por lo tanto los 10 mil millones se alcanzarán dentro de 45.8145 años.}\end{align}$$

La segunda pregunta no es muy clara, porque tenemos dos opciones:

a)¿Cuál será la población? Luego de 5 años a partir de 1976

O bien

b)¿Cuál será la población? Luego de 5 años partir de la población de los 10 mil millones.

Lo haremos de ambas maneras :)

$$\begin{align}&a)\\&\\&P(t)=?\\&C=4,000,000,000\\&i=0.02\\&t=5\  años\\&\\&Entonces:\\&\\&P(t)=4,000,000,000*e^{0.02*5}\\&\ \ \ \ \ \ \ = 4.42068*10^9\\&\text{Por lo tanto luego de 5 años habrán:}\ 4.42068*10^9\ habitantes\\&\\&\text{opción b)}\\&\\&P(t)=?\\&C=10,000,000,000\\&i=0.02\\&t=5\ años\\&\\&P(t)=10,000,000,000*e^{0.02*5}\\&\ \ \ \ \ \ \ \ =1.10517*10^{10}\\&\\&\text{Por lo tanto luego de 5 años habrán:}\ 1.10517*10^{10}\ habitantes\end{align}$$

y listo!

Si tienes duda, me preguntas :D