Como se puede realizar esta demostración de probabilidad

De la forma que yo lo veo, la función de probabilidad buscada está basada en la Distribución Geométrica, donde la fórmula es

p(x) = p (1-p)^(n-1)

Donde

p(x): es la probabilidad obtenida (en tu caso 3/4 ó 0,75)

p: Probabilidad de éxito en un intento (para tu caso sería 1/6)

n: Número de intentos hasta el primer éxito (lo que te piden evaluar).

Pero que, en tu caso, te debería ser el valor acumulado. Algo del estilo a

$$\begin{align}&p(x) = \sum_{k=1}^n(p (1-p)^{n-1})\\&0,75 = \sum_{k=1}^n({1 \over 6} (1-{1 \over 6})^{n-1})\\&\\&\end{align}$$

y a partir de acá se complica hacerlo a mano, te dejo una imagen Excel con los valores acumulados donde se ve que el N deseado es N=8

·

Si lanzas n veces un dado y quieres obtener una cara concreta del lado tienes una binomial

B(n, 1/6)

Entonces tienes que calcular el n tal que la probabilidad de obtener 1 o más éxitos sea mayor que 3/4

Eso es lo mismo que la probabilidad de 0 exitos sea menor que 1/4

P(0) = C(n,0) · (1/6)^0 · (5/6)^n < 1/4

como los dos primeros factores son 1

(5/6)^n < 1/4

Tomando logaritmos

n·ln(5/6) < ln(1/4)

Como 5/6 < 1 su logaritmo neperiano es negativo y al pasarlo al otro lado cambia el sentido de la desigualdad. (Bueno, es que a mi no me gusta hacer operaciones hasta el final, si ya hubieras tomado la calculadora habrías visto que era negativo y no tendrías que haber deducido el cambio de sentido de la desigualdad como he hecho yo)

n > ln(1/4) / ln(5/6) = 7.603668

Y como n debe ser un número entero es

n >=8

Luego el mínimo es n=8

Y eso es todo.