¿Como calcular del ancho de un rectángulo circunscrito en otro rectángulo?
1 - A un área rectangular de 56m por 30m cubierta de hierba la rodea una acera. Si el área cubierta por dicha acera es de 960 metros cuadrados, ¿Cuál es su ancho?
3 Respuestas
Salazaryuri: respecto a tus comentarios en las respuestas anteriores, la falla está en que ambos rectángulos NO son semejantes.
Si, por ejemplo, tenemos un rectángulo de 10x5 y le agregamos 1 a cada lado, entonces el nuevo rectángulo será de 11x6
El problema es que no son semejantes pues, justamente 11 / 10 no es proporcional a 6 / 5 ó, visto de otro modo, el 1 que le estás agregando al 10 representa un 10%, pero ese mismo valor agregado al 5 es un 20% y es por esto que no respeta las proporciones!
Gracias por la aclaración Gustavo Omar Fellay, este problema me lo plantearon en un examen de matemática básica, durante el examen no lo pude resolver, ya que quise plantearlo de forma mas general, sin suponer que la acera tenia un ancho fijo, ya que por ningún lado el problema dice que la acera tenga un ancho fijo (el problema lo copia textualmente según fue redactado así en el examen), es por eso que solicite ayuda de expertos, las diversas formas en que resolvieron el problema me dejo claro que el problema esta mal planteado o le faltan datos, es decir no existe otra forma mas que esa para resolverlo. Para resolverlo de otra forma se requieren otro tipo de datos.
Ya en mi casa mas tranquilo sin la presión de ser examinado llegue a la misma conclusión que Alan y que Albertx, pero me entro la duda acerca de su semejanza, pero ya esa duda quedo mas que aclarada.
Saludos y gracias nuevamente.
Excelente entonces y es bueno que más allá del examen, si te quedaron dudas te hayas "sentado a pensarlo".
Area.Rectangulo interior ( cubierto por la hierba) = 56 x 30 = 1680 m^2
Área de la superficie cubierta por la acera (rectángulo que rodea a la anterior) =
Longitud media acera x Ancho
Linea media = 2(56 + A) + 2( 30 + A).................................con A=ancho que buscamos.
Longitud media por el ancho = A ( 2(56 + A) + 2( 30 + A)) = A x (112 + 2A + 60 + 2A) =
A ( 172 + 4A) = 172A + 4A^2 = 960 m^2 .......que es tu dato.
Luego resolves la cuadrática y te resultan dos valores 5 y -48 ... te quedas con la solución positiva ..,... A= 5 metros.
Comprobacion: Area rectangulo exterior = 40 x 66 = 2640 m^2
Area rectangulo interior= 56 x 30 = 1680 m^2
Area de la acera = 2640 - 1680 = 960 m^2
Muchas gracias por la ayuda, se parece un poco a la respuesta que tengo, la pregunta la hice en todo expertos por que después que lo resolví me entro una duda, si notas veras que al igual que yo, estas suponiendo indirectamente que las figuras de los rectángulos con semejantes, y esa es mi duda, dice la teoría de Euclides que si dos figuras son semejantes sus razones deben ser iguales:
R(1-triangulo interno)=56/30= 1.87 y la R(2-triangulo externo)= 66/40=1.65
Fue en ese momento que dude, de si la respuesta en verdad es correcta, estoy claro que al hacer la comprobación da el resultado esperado, pero cuando verifico sus razones ya la situación cambia.
Que opinas amigo???
Tenes razon... ocurre que las dos diagonales dividen los rectangulos en triangulos semejantes 2 a 2 .Se trata de triangulos opuestos por el vertice.
Mi nombre es Alan y es un placer ayudarte.
El interior corresponde a la superficie del terreno que es igual a: A = (30)(56) = 1680m²
El exterior está formado por las medidas del terreno, más las medidas del camino, luego su superficie será:
(30+2x)(56+2x) = 1680+960
Y siendo x el ancho uniforme del camino, tendremos:
1680+60x+112x+4x² = 2640
Agrupando términos semejantes, ordenando e igualando a cero:
4x² +172x-960 = 0
Dividiendo toda la ecuación entre 4:
x² +43x-240 = 0
Factorizando para sacar las raíces:
(x+48) (x-5)
Luego:
x = 5
x' = -48
Y al final queda:
x = 5m
Muchas gracias por la ayuda, se parece un poco a la respuesta que tengo, la pregunta la hice en todo expertos por que después que lo resolví me entro una duda, si notas veras que al igual que yo, estas suponiendo indirectamente que las figuras de los rectángulos con semejantes, y esa es mi duda, dice la teoría de Euclides que si dos figuras son semejantes sus razones deben ser iguales:
R(1-triangulo interno)=56/30= 1.87 y la R(2-triangulo externo)= 66/40=1.65
Fue en ese momento que dude, de si la respuesta en verdad es correcta, estoy claro que al hacer la comprobación da el resultado esperado, pero cuando verifico sus razones ya la situación cambia.
Que opinas amigo???
Por lo que yo tengo entendido este teorema solo aplica en triángulos rectángulos, no en rectángulos que es como nos planteas la pregunta.