Suma de Reimann para encontrar el área limitada por la curva en el intervalo dado.

Dividiremos el dominio de integración en n intervalos iguales y calcularemos el límite cuando n tiende a infinito la suma de productos del valor de la función en un punto del intervalo por la longitud del intervalo.

$$\begin{align}&S=\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^n f(x_i)·\frac{b-a}n=\\&\\&(b-a)·\lim_{n\to \infty}\frac 1n\sum_{i=1}^nf(x_i)\\&\\&\text{donde }x_i=a+\frac{i(b-a)}{n}\\&\\&\text{Entonces la suma de Riemann es}\\&\\&S=(2-(-2))·\lim_{n\to \infty} \frac 1n\sum_{i=1}^n\left(4-\left(-2+\frac{4i}{n}\right)^2\right)=\\&\\&4·\lim_{n\to \infty} \frac 1n\sum_{i=1}^n\left(4-4-\frac{16i}{n}+\frac{16i^2}{n^2}    \right)=\\&\\&4·\lim_{n\to \infty} \left(-\left(\frac {16}{n^2}\sum_{i=1}^ni\right)+\left(\frac {16}{n^3}\sum_{i=1}^ni^2\right)\right)=\\&\\&\text{Y hay que usar algunas fórmulas de sumatorios}\\&\\&\sum_{i=1}^ni= \frac{n(1+n)}{2}=\frac{n^2+n}{2}\\&\\&\sum_{i=1}^ni^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}= \frac{2n^3+3n^2+n}{6}\\&\\&=64·\lim_{n\to \infty} \left(-\left(\frac{2n^3+3n^2+n}{6n^3}\right)+\left(\frac{n^2+n}{2n^2}\right)\right)=\\&\\&64·\lim_{n\to \infty} \left(-\frac 13-\frac 1{2n}-\frac{1}{6n^2}+\frac 12+\frac 1{2n}\right)=\\&\\&64·\left(-\frac 13+\frac 12  \right)=64·\frac{-2+3}{6}=\frac{32}{3}\end{align}$$

Y he comprobado que la integral es esa, luego está bien.